Del mismo modo, ¿habría sido capaz alguna vez Arquímedes de descubrir la cuadratura de la parábola si no hubiera conocido otra propiedad de dicha curva que la de ser la sección de un cono con base circular por un plano paralelo a su generatriz? Los trabajos puramente especulativos de geómetras precedentes, al transformar esta primera definición, fueron evidentemente preliminares indispensables para la solución directa de una cuestión semejante.
Lo mismo ocurre, en un grado todavía mayor, respecto a las superficies. Para formarse una idea justa de esto, solo necesitamos comparar, en cuanto a la cuestión de la cubatura o la cuadratura, la definición común de la esfera con aquella otra, no menos característica por cierto, que consistiría en considerar un cuerpo esférico como aquel que, con la misma área, contiene el mayor volumen.
No se necesitan más ejemplos para mostrar la necesidad de conocer, en la medida de lo posible, todas las propiedades de cada línea o de cada superficie, con el fin de facilitar la investigación de las rectificaciones, de las cuadraturas y de las cubaturas, lo cual constituye el objeto final de la geometría.
Podemos incluso afirmar que la principal dificultad de las cuestiones de este género consiste en emplear en cada caso la propiedad que mejor se adapte a la naturaleza del problema propuesto.
Así, mientras continuamos señalando, para mayor precisión, la medida de la extensión como el destino general de la geometría, esta primera consideración, que va al fondo mismo del asunto, muestra claramente la necesidad de incluir en ella el estudio, lo más minucioso posible, de las diferentes generaciones o definiciones pertenecientes a una misma forma.
- Pasar de lo concreto a lo abstracto. Una segunda consideración, de importancia al menos igual, consiste en que dicho estudio es indispensable para organizar de manera racional la relación de lo abstracto con lo concreto en la geometría.
La ciencia de la geometría, al tener que considerar todas las figuras imaginables que admiten una definición exacta, resulta necesariamente de esto, como hemos observado, que las cuestiones relativas a cualquier figura presentada por la naturaleza están siempre implícitamente comprendidas en esta geometría abstracta, supuesta como alcanzada en su perfección.
Pero cuando es necesario pasar efectivamente a la geometría concreta, nos encontramos constantemente con una dificultad fundamental: la de saber a cuál de los diferentes tipos abstractos debemos referir, con suficiente aproximación, las líneas o superficies reales que tenemos que estudiar.
Ahora bien, es con el propósito de establecer tal relación que resulta particularmente indispensable conocer el mayor número posible de propiedades de cada figura considerada en geometría.
De hecho, si nos limitáramos siempre a la única definición primitiva de una línea o de una superficie, suponiendo incluso que pudiéramos entonces medirla (lo que, según el primer orden de consideraciones, sería por lo general imposible), este conocimiento permanecería casi necesariamente estéril en su aplicación, puesto que ordinariamente no sabríamos reconocer esa figura en la naturaleza cuando allí se presentara; para asegurarlo, sería necesario que la única característica, según la cual los geómetras la habían concebido, fuera precisamente aquella cuya verificación admitieran las circunstancias externas: una coincidencia que sería puramente fortuita, y con la que no podríamos contar, aunque a veces pudiera tener lugar.