Sólido de menor resistencia. La cuestión más antigua de esta naturaleza es la del sólido de menor resistencia, tratada por Newton en el segundo libro de los Principia, en el cual determina cuál debe ser la curva meridiana de un sólido de revolución, para que la resistencia experimentada por dicho cuerpo en la dirección de su eje sea la menor posible. Pero el camino seguido por Newton, debido a la naturaleza de su método especial de análisis trascendente, no tenía un carácter suficientemente simple, suficientemente general y, sobre todo, suficientemente analítico como para atraer a los geómetras hacia este nuevo orden de problemas.
Para lograr esto, se necesitaba la aplicación del método infinitesimal; y esto fue hecho, en 1695, por Juan Bernoulli, al proponer el célebre problema de la Braquistócrona.
Este problema, que sugirió después una larga serie de cuestiones análogas, consiste en determinar la curva que un cuerpo pesado debe seguir para descender de un punto a otro en el menor tiempo posible. Limitando las condiciones a la simple caída en el vacío, el único caso que se consideró al principio, se halla fácilmente que la curva requerida debe ser una cicloide invertida con una base horizontal y con su origen en el punto más alto. Pero la cuestión puede volverse singularmente complicada, ya sea tomando en cuenta la resistencia del medio, o bien el cambio en la intensidad de la gravedad.
Isoperímetros.
Aunque esta nueva clase de problemas fue proporcionada en primer lugar por la mecánica, es en la geometría donde se realizaron posteriormente las principales investigaciones de este carácter. Así, se propuso descubrir cuál, entre todas las curvas del mismo contorno trazadas entre dos puntos dados, es aquella cuya área es máxima o mínima, de donde ha venido el nombre de Problema de los isoperímetros; o bien se requería que el máximo o el mínimo perteneciera a la superficie producida por la revolución de la curva buscada alrededor de un eje, o al volumen correspondiente; en otros casos, era la altura vertical del centro de gravedad de la curva desconocida, o de la superficie y del volumen que esta pudiera generar, la que debía llegar a ser máxima o mínima, etc.
Finalmente, estos problemas fueron variados y complicados casi hasta el infinito por los Bernoulli, por Taylor y, especialmente, por Euler, antes de que Lagrange redujera su solución a un método abstracto y enteramente general, cuyo descubrimiento ha puesto fin al entusiasmo de los geómetras por tal orden de investigaciones.
Este no es el lugar para trazar la historia de este tema. Solo he enumerado algunas de las principales cuestiones más simples, con el fin de hacer patente el objeto general original del método de variaciones.
Naturaleza analítica de estos problemas. Vemos que todos estos problemas, considerados desde un punto de vista analítico, consisten, por su naturaleza, en determinar qué forma debe tener cierta función desconocida de una o más variables, para que tal o cual integral, dependiente de dicha función, tenga, dentro de unos límites asignados, un valor que sea máximo o mínimo con respecto a todos los que tomaría si la función requerida tuviera cualquier otra forma en absoluto.
Así, por ejemplo, en el problema de la braquistócrona, es bien sabido que si y = f(z), x = π(z), son las ecuaciones rectilíneas de la curva requerida, suponiendo que los ejes de x y de y son horizontales, y que el eje de z es vertical, el tiempo de caída de un cuerpo pesado en dicha curva desde el punto cuya ordenada es z1, hasta aquel cuya ordenada es z2, se expresa en términos generales mediante la integral definida
∫_{z_{2}}z_{1}√(1 + (f'(z))2 + (π'(z))2/(2gz))dz.