línea o para cada superficie, en relacionar todos los fenómenos geométricos que puede presentar con un único fenómeno fundamental, considerado como la definición primitiva.
# LOS DOS MÉTODOS GENERALES DE LA GEOMETRÍA.
Habiendo explicado ya de una manera general y a la vez precisa el objeto final de la geometría, y mostrado cómo la ciencia, así definida, comprende una clase muy extensa de investigaciones que al principio no parecían pertenecerle necesariamente, queda por considerar el método que debe seguirse para la formación de esta ciencia. Esta discusión es indispensable para completar este primer esbozo del carácter filosófico de la geometría. Me limitaré aquí a indicar la consideración más general en esta materia, desarrollando y sintetizando esta importante idea fundamental en los capítulos siguientes.
Las cuestiones geométricas pueden ser tratadas según dos métodos tan diferentes, que de ellos resultan dos suertes de geometría, por así decirlo, cuyo carácter filosófico no me parece haber sido aún comprendido adecuadamente. Las expresiones de Geometría sintética y Geometría analítica, habitualmente empleadas para designarlas, dan una idea muy falsa de ellas. Preferiría mucho más las denominaciones puramente históricas de Geometría de los Antiguos y Geometría de los Modernos, que tienen al menos la ventaja de no hacer malinterpretar su verdadero carácter. Pero propongo emplear en adelante las expresiones regulares de Geometría especial y Geometría general, que me parecen adecuadas para caracterizar con precisión la naturaleza verdadera de los dos métodos.
Su diferencia fundamental.
La diferencia fundamental entre la manera en que concebimos la Geometría desde Descartes, y la manera en que los geómetras de la antigüedad trataban las cuestiones geométricas, no es el uso del Cálculo (o del Álgebra), como se suele creer.
Por una parte, es cierto que el uso del cálculo no era del todo desconocido para los antiguos geómetras, ya que solían hacer aplicaciones continuas y muy extensas de la teoría de las proporciones, la cual era para ellos, como medio de deducción, una especie de equivalente real, aunque muy imperfecto y sobre todo sumamente limitado, de nuestra álgebra actual.
El cálculo puede incluso emplearse de un modo mucho más completo de como ellos lo han utilizado, con el fin de obtener ciertas soluciones geométricas que conservarán todavía todo el carácter esencial de la geometría antigua; esto ocurre con mucha frecuencia respecto a aquellos problemas de geometría de dos o de tres dimensiones que se designan comúnmente bajo el nombre de determinados.
Por otra parte, por importante que sea la influencia del cálculo en nuestra geometría moderna, diversas soluciones obtenidas sin el álgebra pueden manifestar a veces el carácter peculiar que la distingue de la geometría antigua, aunque el análisis sea generalmente indispensable.
Citaré, como ejemplo, el método de Roberval para las tangentes, cuya naturaleza es esencialmente moderna y que, sin embargo, conduce en ciertos casos a soluciones completas, sin ninguna ayuda del cálculo.
No es, pues, el instrumento de deducción empleado lo que constituye la principal distinción entre los dos caminos que la mente humana puede seguir en geometría.