Es esto lo que me ha determinado a definir regularmente el análisis trascendental como el cálculo de las funciones indirectas, con el fin de señalar su verdadero carácter filosófico, evitando al mismo tiempo cualquier discusión sobre el modo mejor de concebirlo y aplicarlo. El efecto general de este análisis, cualquiera que sea el método empleado, es, pues, reducir toda cuestión matemática con mucha mayor prontitud al dominio del cálculo, y disminuir así considerablemente la seria dificultad que por lo general presenta el paso de lo concreto a lo abstracto.
Por más progresos que podamos hacer, jamás podemos esperar que el cálculo sea capaz de abarcar todas las cuestiones de filosofía natural, ya sean geométricas, mecánicas, termológicas, etc., inmediatamente en su nacimiento, lo que evidentemente implicaría una contradicción.
Todo problema exigirá constantemente que se realice un cierto trabajo preliminar, en el cual el cálculo no puede ser de ninguna ayuda y que, por su naturaleza, no puede someterse a reglas abstractas e invariables; es el que tiene por objeto especial el establecimiento de ecuaciones, las cuales constituyen el punto de partida indispensable de todas las investigaciones analíticas.
Pero esta labor preliminar ha sido notablemente simplificada por la creación del análisis trascendental, que ha apresurado así el momento en el que la solución admite la aplicación uniforme y precisa de métodos generales y abstractos; al reducir, en cada caso, esta labor especial a la investigación de ecuaciones entre las magnitudes auxiliares; a partir de las cuales el cálculo conduce luego a ecuaciones que se refieren directamente a las magnitudes propuestas, las cuales, antes de esta admirable concepción, había sido necesario establecer directa y separadamente.
Ya sean estas ecuaciones indirectas ecuaciones diferenciales, según la idea de Leibniz, o ecuaciones de límites, conforme a la concepción de Newton, o, por último, ecuaciones derivadas, según la teoría de Lagrange, el procedimiento general es evidentemente siempre el mismo.
Pero la coincidencia de estos tres métodos principales no se limita al efecto común que producen; existe, además, en el modo mismo de obtenerlo.
En efecto, no solo los tres consideran, en lugar de las magnitudes primitivas, ciertas magnitudes auxiliares, sino que, además, las cantidades así introducidas como subsidiarias son exactamente idénticas en los tres métodos, los cuales, por consiguiente, solo difieren en la manera de considerarlas.
Esto puede demostrarse fácilmente tomando como término general de comparación cualquiera de las tres concepciones, especialmente la de Lagrange, que es la más adecuada para servir de tipo, por estar más libre de consideraciones ajenas.
¿No es evidente, por la propia definición de las funciones derivadas, que no son otra cosa que lo que Leibnitz llama coeficientes diferenciales, o las razones del diferencial de cada función al de la variable correspondiente, puesto que, al determinar el primer diferencial, nos veremos obligados, por la propia naturaleza del método infinitesimal, a limitarnos a tomar el único término del incremento de la función que contiene la primera potencia del incremento infinitamente pequeño de la variable?
De la misma manera, ¿no es la función derivada, por su naturaleza, asimismo el límite necesario hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función primitiva y el de su variable, a medida que este último disminuye indefinidamente, ya que expresa evidentemente en qué se convierte dicha razón cuando suponemos que el incremento de la variable es igual a cero?