los geómetras debieron haber visto un cálculo verdaderamente nuevo, cuyo carácter filosófico aún no ha sido determinado con suficiente exactitud. Una diferencia muy llamativa entre este caso y el de las ecuaciones con una sola variable independiente consiste, como ya se ha observado, en las funciones arbitrarias que toman el lugar de las simples constantes arbitrarias, a fin de dar a las integrales correspondientes toda la generalidad adecuada.
Apenas es necesario decir que esta rama superior del análisis trascendental se encuentra todavía completamente en su infancia, ya que, incluso en el caso más sencillo, el de una ecuación de primer orden entre las derivadas parciales de una sola función con dos variables independientes, aún no somos capaces por completo de reducir la integración a la de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
La integración de funciones de varias variables está mucho más avanzada en el caso (en verdad infinitamente más simple) en el que se trata únicamente de fórmulas diferenciales explícitas. Podemos entonces, de hecho, cuando estas fórmulas satisfacen las condiciones necesarias de integrabilidad, reducir siempre su integración a cuadraturas.
Otras subdivisiones: diferentes Órdenes de Diferenciación.
Una nueva distinción general, aplicable como subdivisión a la integración de diferenciales explícitos o implícitos, con una o varias variables, se extrae del orden superior o inferior de los diferenciales: una distinción que, como hemos señalado más arriba, no da lugar a ninguna cuestión especial en el cálculo diferencial.
Respecto a los diferenciales explícitos, ya sean de una o de varias variables, la necesidad de distinguir sus diferentes órdenes pertenece únicamente a la extrema imperfección del cálculo integral.
En realidad, si siempre pudiéramos integrar cualquier fórmula diferencial de primer orden, la integración de una fórmula de segundo orden, o de cualquier otra, evidentemente no constituiría una nueva cuestión, puesto que, integrándola primero en el primer grado, llegaríamos a la expresión diferencial del orden inmediatamente anterior, a partir de la cual, mediante una serie adecuada de integraciones análogas, tendríamos la certeza de llegar finalmente a la función primitiva, el objeto final de estas operaciones.
Pero el poco conocimiento que poseemos sobre la integración incluso del primer orden ocasiona un estado de cosas muy diferente, de modo que un orden superior de diferenciales produce nuevas dificultades; pues, teniendo fórmulas diferenciales de cualquier orden superior al primero, puede ocurrir que seamos capaces de integrarlas, ya sea una vez, o varias veces de forma sucesiva, y que aun así no podamos remontarnos hasta las funciones primitivas, si estas labores preliminares han producido, para los diferenciales de un orden inferior, expresiones cuyas integrales no se conocen.
Esta circunstancia debe ocurrir tanto más a menudo (siendo el número de integrales conocidas todavía muy pequeño), dado que estas integrales sucesivas son generalmente funciones muy diferentes de las derivadas que las han producido.
Con respecto a los diferenciales implícitos, la distinción de órdenes es aún más importante; pues, además de la razón precedente —cuya influencia es evidentemente análoga en este caso, y es incluso mayor—, es fácil percibir que el orden superior de las ecuaciones diferenciales da lugar necesariamente a cuestiones de una naturaleza nueva.