Se puede concebir fácilmente, en efecto, que la parte de la variación completa que procedería de la última integral debe ser igual a cero (debido al carácter constante de esta última), así como la porción debida a la primera integral, que desaparece en virtud del estado de máximo o mínimo. Estas dos condiciones se unen evidentemente para producir, a este respecto, efectos exactamente iguales.
Tal es el esbozo del modo general en que el método de las variaciones se aplica a todas las diferentes cuestiones que componen la llamada Teoría de las isoperímetros.
Sin duda se habrá notado en esta exposición sumaria cuánto uso se ha hecho en este nuevo análisis de la segunda propiedad fundamental del análisis trascendental señalada en el tercer capítulo, a saber, la generalidad de las expresiones infinitesimales para la representación del mismo fenómeno geométrico o mecánico, en cualquier cuerpo en que se le considere.
Sobre esta generalidad, en efecto, se fundan, por su propia naturaleza, todas las soluciones debidas al método de las variaciones. Si una sola fórmula no pudiera expresar la longitud o el área de una curva cualquiera; si otra fórmula fija no pudiera designar el tiempo de la caída de un cuerpo pesado, según cualquier línea por la que descienda, etc., ¿cómo habría sido posible resolver cuestiones que exigen inevitablemente, por su naturaleza, la consideración simultánea de todos los casos que pueden determinarse en cada fenómeno por los diferentes sujetos que lo manifiestan?
Otras aplicaciones de este método.
No obstante la extrema importancia de la teoría de los isoperímetros, y aunque el método de las variaciones no tuvo al principio otro objeto que la solución lógica y general de esta clase de problemas, tendríamos aún una idea incompleta de este hermoso análisis si limitásemos a esto su destino. En efecto, la concepción abstracta de dos naturalezas distintas de diferenciación es evidentemente aplicable no solo a los casos para los cuales fue creada, sino también a todos aquellos que presentan, por cualquier motivo que sea, dos maneras diferentes de hacer variar las mismas magnitudes.
Es de este modo como el propio Lagrange ha hecho, en su "Méchanique Analytique," una extensa e importante aplicación de su cálculo de variaciones, empleándolo para distinguir las dos clases de cambios que se presentan naturalmente en los problemas de la mecánica racional para los diferentes puntos que se consideran, según comparemos las posiciones sucesivas que son ocupadas, en virtud de su movimiento, por el mismo punto de cada cuerpo en dos instantes consecutivos, o según pasemos de un punto del cuerpo a otro en el mismo instante.
Una de estas comparaciones produce diferenciales ordinarias; la otra da lugar a variaciones, las cuales, allí como en todas partes, no son sino diferenciales tomadas bajo un nuevo punto de vista.
Tal es la acepción general en la que debemos concebir el Cálculo de Variaciones, para apreciar debidamente la importancia de este admirable instrumento lógico, el más potente que la mente humana ha construido hasta ahora.
El método de las variaciones, al ser únicamente una inmensa extensión del análisis trascendental general, no tengo necesidad de demostrar especialmente que es susceptible de ser considerado bajo los diferentes puntos de vista fundamentales que el cálculo de funciones indirectas, considerado como un todo, admite.