Combinando esta consideración con las sugeridas previamente respecto a los volúmenes y a las superficies, podemos formarnos una idea muy clara de la ciencia de la geometría, concebida en todas sus partes, asignándole, como objeto general, la reducción final de las comparaciones de toda clase de extensión —volúmenes, superficies o líneas— a simples comparaciones de líneas rectas, las únicas consideradas capaces de ser hechas directamente, y que en verdad no podrían reducirse a otras más fáciles de efectuar.
Semejante concepción, al mismo tiempo, indica claramente el carácter verídico de la geometría, y parece adecuada para mostrar de un solo golpe su utilidad y su perfección.
Medición de Líneas rectas. Para completar esta explicación fundamental, aún me falta mostrar cómo puede haber, en geometría, una sección especial relativa a la línea recta, lo que al principio parece incompatible con el principio de que la medición de esta clase de líneas debe considerarse siempre como directa.
Así es, en efecto, si se la compara con la de las líneas curvas y con la de todos los demás objetos que la geometría considera.
Pero es evidente que la estimación de una línea recta no puede considerarse directa sino en la medida en que la unidad lineal pueda aplicarse a ella. Ahora bien, esto presenta a menudo dificultades insuperables, tal como tuve ocasión de mostrar, por otro motivo, en el capítulo introductorio.
Debemos, por lo tanto, hacer que la medida de la línea recta propuesta dependa de otras medidas análogas capaces de efectuarse directamente. Existe, pues, necesariamente una primera rama distinta de la geometría, consagrada exclusivamente a la línea recta; su objeto es determinar ciertas líneas rectas a partir de otras mediante las relaciones pertenecientes a las figuras resultantes de su ensamblaje.
Esta parte preliminar de la geometría, que es casi imperceptible al contemplar el conjunto de la ciencia, es sin embargo susceptible de un gran desarrollo. Es evidentemente de especial importancia, ya que todas las demás medidas geométricas se remiten a las de las líneas rectas y, si estas no pudiesen determinarse, la solución de cualquier cuestión quedaría inconclusa.
Tales son, pues, las diversas partes fundamentales de la geometría racional, ordenadas según su dependencia natural; considerándose primero la geometría de las líneas, empezando por la línea recta; luego la geometría de las superficies y, finalmente, la de los cuerpos.
EXTENSIÓN INFINITA DE SU CAMPO.
Habiendo determinado con precisión el objeto general y final de las investigaciones geométricas, debe considerarse ahora la ciencia con respecto al campo que abarca cada una de sus tres secciones fundamentales.
Considerada de este modo, la geometría es evidentemente susceptible, por su naturaleza, de una extensión rigurosamente infinita; pues la medida de las líneas, de las superficies o de los volúmenes presenta necesariamente tantas cuestiones distintas como diferentes figuras podamos concebir sujetas a definiciones exactas; y su número es evidentemente infinito.
Los geómetras se limitaron al principio a considerar las figuras más simples que la naturaleza les proporcionaba directamente, o que se deducían de estos elementos primitivos mediante las combinaciones menos complicadas. Pero han comprendido, desde Descartes, que, para constituir la ciencia de la manera más filosófica, era necesario aplicarla a todas las figuras imaginables.