Existe, sin embargo, otra imperfección de menor importancia, que debe considerarse en realidad como derivada de la manera en que concebimos la geometría analítica.
Consiste en la evidente incompletitud de nuestra representación actual de las ecuaciones de dos o tres variables mediante líneas o superficies, por cuanto en la construcción del lugar geométrico prestamos atención únicamente a las soluciones reales de las ecuaciones, sin reparar en absoluto en ninguna de las soluciones imaginarias.
El curso general de estas últimas debería, sin embargo, por su naturaleza, ser tan susceptible como el de las otras de una representación geométrica. De esta omisión se sigue que la imagen gráfica de la ecuación es constantemente imperfecta, y a veces incluso lo es tanto que no existe representación geométrica en absoluto cuando la ecuación admite únicamente soluciones imaginarias.
Pero, incluso en este último caso, evidentemente deberíamos ser capaces de distinguir entre ecuaciones tan diferentes en sí mismas como estas, por ejemplo, x2 + y2 + 1 = 0, x6 + y4 + 1 = 0, y2 + ex = 0.
Sabemos, además, que esta imperfección principal acarrea a menudo, en la geometría analítica de dos o de tres dimensiones, una serie de inconvenientes secundarios, derivados de varias modificaciones analíticas que no corresponden a ningún fenómeno geométrico.
Nuestra exposición filosófica de la concepción fundamental de la geometría analítica nos muestra claramente que esta ciencia consiste esencialmente en determinar cuál es la expresión analítica general de tal o cual fenómeno geométrico perteneciente a las líneas o a las superficies; y, recíprocamente, en descubrir la interpretación geométrica de tal o cual consideración analítica.
Un examen detallado de las cuestiones generales más importantes nos mostraría cómo los geómetras han logrado establecer efectivamente esta hermosa armonía, y en imprimir así a la ciencia geométrica, considerada en su conjunto, su carácter actual eminentemente perfecto de racionalidad y de simplicidad.
Nota.—El autor dedica los dos capítulos siguientes de su curso al examen más detallado de la Geometría Analítica de dos y de tres dimensiones; pero se ha considerado que su posterior publicación de una obra separada sobre esta rama de las matemáticas hace innecesaria la reproducción de estos dos capítulos en el presente volumen.
FIN.