La parte abstracta de las matemáticas es, por tanto, general en su naturaleza; la parte concreta, especial.
Para presentar esta comparación bajo un nuevo punto de vista, podemos decir que las matemáticas concretas tienen un carácter filosófico, que es esencialmente experimental, físico, fenomenal; mientras que el de las matemáticas abstractas es puramente lógico, racional. La parte concreta de toda cuestión matemática se funda necesariamente en la consideración del mundo exterior, y nunca podría resolverse mediante una simple serie de combinaciones intelectuales.
La parte abstracta, por el contrario, cuando se ha separado por completo, solo puede consistir en una serie de deducciones lógicas, más o menos prolongadas; pues si una vez hemos hallado las ecuaciones de un fenómeno, la determinación de las cantidades en él consideradas, mediante unas y otras, es un asunto exclusivo del razonamiento, cualesquiera que sean las dificultades.
Corresponde únicamente al entendimiento deducir de estas ecuaciones resultados que están evidentemente contenidos en ellas, aunque tal vez de un modo muy enmarañado, sin que haya ocasión de consultar de nuevo al mundo exterior; cuya consideración, habiéndose vuelto desde entonces ajena al tema, debe incluso ser cuidadosamente descartada para reducir la labor a su verdadera y peculiar dificultad.
La parte abstracta de las matemáticas es, por tanto, puramente instrumental, y no es más que una inmensa y admirable extensión de la lógica natural a cierta clase de deducciones.
Por otra parte, la geometría y la mecánica, que, como veremos en seguida, constituyen la parte concreta, deben ser consideradas como verdaderas ciencias naturales, fundadas en la observación, como todas las demás, aunque la extrema simplicidad de sus fenómenos permite un grado infinitamente mayor de sistematización, lo que a veces ha hecho que se comprenda mal el carácter experimental de sus primeros principios.
Vemos, por esta breve comparación general, cuán natural y profunda es nuestra división fundamental de la ciencia matemática.
Ahora tenemos que delimitar, tan exactamente como podamos en este primer esbozo, cada una de estas dos grandes secciones.
# CONCRETE MATHEMATICS.
Concrete Mathematics teniendo por objeto el descubrimiento de las ecuaciones de los fenómenos, parecería a primera vista que debe componerse de tantas ciencias distintas como categorías verdaderamente distintas hallamos entre los fenómenos naturales.
Pero estamos aún muy lejos de haber descubierto leyes matemáticas en toda clase de fenómenos; veremos incluso, próximamente, que la mayor parte se ocultará muy probablemente siempre a nuestras investigaciones.
En realidad, en el estado actual de la mente humana, no existen directamente más que dos grandes clases generales de fenómenos cuyas ecuaciones conocemos constantemente; estos son, en primer lugar, los fenómenos geométricos y, en segundo lugar, los mecánicos.
Así pues, la parte concreta de las matemáticas se compone de la Geometría y de la Mecánica racional.