# ECUACIONES ALGEBRAICAS.
Considerando ahora únicamente estas ecuaciones algebraicas, debemos observar, en primer lugar, que aunque a menudo puedan contener funciones irracionales de las cantidades desconocidas además de funciones racionales, siempre podemos, mediante transformaciones más o menos sencillas, reducir el primer caso al segundo, de modo que es de este último del que los analistas han tenido que ocuparse exclusivamente para resolver todo tipo de ecuaciones algebraicas.
Su clasificación. En los albores del álgebra, estas ecuaciones se clasificaban según el número de sus términos. Pero esta clasificación era evidentemente defectuosa, ya que separaba casos que eran realmente similares y reunía otros que no tenían nada en común además de esta característica sin importancia. Se ha conservado únicamente para las ecuaciones con dos términos, las cuales son, de hecho, susceptibles de resolverse de un modo que les es propio.
La clasificación de las ecuaciones según lo que se denomina sus grados, es, por otra parte, eminentemente natural, pues esta distinción determina rigurosamente la mayor o menor dificultad de su resolución.
Esta gradación es aparente en los casos de todas las ecuaciones que pueden resolverse; pero puede indicarse de una manera general independientemente del hecho de la resolución. Solo necesitamos considerar que la ecuación más general de cada grado comprende necesariamente a todas las de los diferentes grados inferiores, como debe hacerlo también la fórmula que determina la incógnita.
En consecuencia, por leve que supongamos la dificultad propia del grado que estamos considerando, puesto que se complica inevitablemente en la ejecución con las presentadas por todos los grados precedentes, la resolución ofrece realmente cada vez más obstáculos, a medida que el grado de la ecuación se eleva.
# RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE ECUACIONES.
Sus Límites. La resolución de ecuaciones algebraicas solo nos es conocida hasta ahora en los cuatro primeros grados, tal es el incremento de dificultad señalado más arriba. A este respecto, el álgebra no ha hecho ningún progreso considerable desde los trabajos de Descartes y de los analistas italianos del siglo XVI, aunque en los dos últimos siglos apenas haya habido quizás un solo geómetra que no se haya ocupado en intentar hacer avanzar la resolución de ecuaciones. La ecuación general de quinto grado misma ha resistido hasta ahora todos los ataques.
La complicación constantemente creciente que las fórmulas para resolver ecuaciones deben presentar necesariamente, a medida que el grado aumenta (la dificultad de emplear la fórmula de cuarto grado la vuelve casi inaplicable), ha determinado que los analistas renuncien, mediante un acuerdo tácito, a la persecución de tales investigaciones, aunque están muy lejos de considerarla imposible para obtener la resolución de ecuaciones de quinto grado y de varias otras superiores.
Solución general. La única cuestión de este género que sería realmente de gran importancia, al menos en sus relaciones lógicas, sería la resolución general de las ecuaciones algebraicas de cualquier grado que sea. Ahora bien, cuanto más meditamos sobre este asunto, más somos conducidos a pensar, con Lagrange, que supera en realidad el alcance de nuestra inteligencia.