# ELECCIÓN DE COORDENADAS.
Para completar la exposición filosófica de la concepción que sirve de base a la geometría analítica, aún me falta señalar las consideraciones relativas a la elección del sistema de coordenadas que es, en general, el más adecuado.
Ellas darán la explicación racional de la preferencia acordada unánimemente al sistema rectilíneo ordinario; una preferencia que hasta ahora ha sido más bien el efecto de un sentimiento empírico de la superioridad de este sistema, que el resultado exacto de un análisis directo y minucioso.
Dos puntos de vista diferentes. Para decidir claramente entre todos los distintos sistemas de coordenadas, es indispensable distinguir con cuidado los dos puntos de vista generales, inversos el uno del otro, que pertenecen a la geometría analítica; a saber, la relación del álgebra con la geometría, fundada en la representación de líneas mediante ecuaciones; y, recíprocamente, la relación de la geometría con el álgebra, fundada en la representación de ecuaciones mediante líneas.
Es evidente que en toda investigación de geometría general estos dos puntos de vista fundamentales se hallan siempre necesariamente combinados, ya que debemos pasar siempre alternativamente, y por intervalos casi imperceptibles, por decirlo así, de las consideraciones geométricas a las analíticas, y de las analíticas a las geométricas.
Pero la necesidad de separarlos aquí temporalmente no es por ello menos real; pues la respuesta a la cuestión de método que estamos examinando dista mucho, en verdad, como veremos dentro de poco, de ser la misma en ambas relaciones, de modo que sin esta distinción no podríamos formarnos ninguna idea clara de ella.
- Representación de líneas por ecuaciones.
Bajo el primer punto de vista —la representación de líneas por ecuaciones—, el único motivo que podría llevarnos a preferir un sistema de coordenadas a otro sería la mayor simplicidad de la ecuación de cada línea y una mayor facilidad para llegar a ella.
Ahora bien, es fácil ver que no existe, y no cabría esperar que existiera, ningún sistema de coordenadas que merezca a ese respecto una preferencia constante sobre todos los demás. De hecho, hemos señalado más arriba que para cada definición geométrica propuesta podemos concebir un sistema de coordenadas en el cual la ecuación de la línea se obtiene de inmediato y resulta ser también necesariamente muy sencilla; y este sistema, además, varía inevitablemente con la naturaleza de la propiedad característica que se esté considerando.
El sistema rectilíneo no podría, por tanto, ser constantemente el más ventajoso para este fin, aunque a menudo pueda ser muy favorable; probablemente no hay ningún sistema que, en ciertos casos particulares, no deba preferirse a él, así como a cualquier otro.
- Representación de ecuaciones por medio de líneas. No ocurre así en absoluto, sin embargo, bajo el segundo punto de vista. Podemos, en efecto, establecer fácilmente, como principio general, que el sistema rectilíneo ordinario debe estar necesariamente mejor adaptado que cualquier otro a la representación de ecuaciones por medio de los lugares geométricos correspondientes; es decir, que esta representación es en él constantemente más simple y más fiel que en cualquier otro.