# EL OBJETO FINAL DE LA GEOMETRÍA.
Establecidos estos preliminares, podemos proceder directamente a la definición general de la geometría, continuando concibiendo esta ciencia como teniendo por objeto final la medición de la extensión.
Es necesario en este asunto entrar en una explicación exhaustiva, fundada en la distinción de las tres clases de extensión, ya que la noción de medida no es exactamente la misma con referencia a las superficies y a los volúmenes que a las líneas.
Naturaleza de la medición geométrica.
Si tomamos la palabra medición en su acepción directa y general matemática, que significa simplemente la determinación del valor de las razones entre magnitudes homogéneas cualesquiera, debemos considerar, en geometría, que la medición de superficies y de volúmenes, a diferencia de la de líneas, nunca se concibe, ni siquiera en los casos más simples y más favorables, como efectuada directamente.
La comparación de dos líneas se considera directa; la de dos superficies o la de dos volúmenes es, por el contrario, siempre indirecta. Así, concebimos que dos líneas pueden superponerse; pero la superposición de dos superficies, o, con mayor razón, de dos volúmenes, es evidentemente imposible en la mayoría de los casos; y, aun cuando llega a ser rigurosamente factible, tal comparación no resulta nunca ni conveniente ni exacta. Es, por tanto, muy necesario explicar en qué consiste propiamente la medición verdaderamente geométrica de una superficie o de un volumen.
Medida de las superficies y de los volúmenes.
Para esto debemos considerar que, cualquiera que sea la forma de un cuerpo, siempre existe un cierto número de líneas, más o menos fáciles de determinar, cuya longitud es suficiente para definir exactamente la magnitud de su superficie o de su volumen. La geometría, al considerar estas líneas como las únicas susceptibles de ser medidas directamente, se propone deducir, a partir de la simple determinación de ellas, la relación entre la superficie o el volumen buscados y la unidad de superficie, o la unidad de volumen.
Así, el objeto general de la geometría, con respecto a las superficies y a los volúmenes, es propiamente reducir todas las comparaciones de superficies o de volúmenes a simples comparaciones de líneas.
Además de la muy gran facilidad que semejante transformación ofrece evidentemente para la medida de los volúmenes y de las superficies, resulta de ella, al considerarla de un modo más extendido y más científico, la posibilidad general de reducir a cuestiones de líneas todas las cuestiones relativas a los volúmenes y a las superficies, considerados con referencia a su magnitud.
Tal es a menudo el uso más importante de las expresiones geométricas que determinan las superficies y los volúmenes en funciones de las líneas correspondientes.
Es verdad que a veces se emplean comparaciones directas entre superficies o entre volúmenes; pero tales mediciones no se consideran geométricas, sino tan solo un suplemento a veces necesario, aunque demasiado rara vez aplicable, a la insuficiencia o a la dificultad de los métodos verdaderamente racionales. Es así como a menudo determinamos el volumen de un cuerpo, y en ciertos casos su superficie, por medio de su peso. Del mismo modo, en otras ocasiones, cuando podemos sustituir el volumen propuesto por un