Carnot ve, como indicio cierto e invariable del establecimiento real de esta compensación necesaria, la eliminación completa de las diversas cantidades infinitamente pequeñas, que es siempre, de hecho, el objeto final de todas las operaciones del análisis trascendental; pues si no hemos cometido más infracciones de las reglas generales del razonamiento que las exigidas así por la naturaleza misma del método infinitesimal, los errores infinitamente pequeños así producidos no habrán podido engendrar más que errores infinitamente pequeños en todas las ecuaciones, y las relaciones son necesariamente de una rigorosa exactitud tan pronto como existen únicamente entre cantidades finitas, ya que los únicos errores entonces posibles deben ser finitos, mientras que ninguno de estos ha podido introducirse.
Todo este razonamiento general se funda en la concepción de las cantidades infinitesimales, consideradas como decrecientes indefinidamente, mientras que aquellas de las que derivan se consideran fijas.
Ilustración de Tangents.
Así, para ilustrar esta exposición abstracta con un solo ejemplo, retomemos la cuestión de las tangentes, que es la más fácil de analizar por completo.
Consideraremos la ecuación t = dy/dx, obtenida anteriormente, como afectada por un error infinitamente pequeño, ya que solo sería perfectamente rigurosa para la secante.
Ahora completemos la solución buscando, según la ecuación de cada curva, la razón entre los diferenciales de las coordenadas.
Si suponemos que esta ecuación es y = ax2, evidentemente tendremos dy = 2axdx + adx2.
En esta fórmula tendremos que despreciar el término dx2 como una cantidad infinitamente pequeña de segundo orden.
Luego, la combinación de las dos ecuaciones imperfectas.
t = dy/dx, dy = 2ax(dx), siendo suficiente para eliminar por completo los infinitésimos, el resultado finito, t = 2ax, será necesariamente rigurosamente correcto, por efecto de la exacta compensación de los dos errores cometidos; puesto que, por su naturaleza finita, no puede estar afectado por un error infinitamente pequeño, y este es, sin embargo, el único que podría tener, según el espíritu de las operaciones que se han ejecutado.
Sería fácil reproducir de manera uniforme el mismo razonamiento con referencia a todas las demás aplicaciones generales del análisis de Leibnitz.
Esta ingeniosa teoría es sin duda más sutil que sólida, si la examinamos con mayor detenimiento; pero en realidad no tiene otro defecto lógico radical que el del método infinitesimal mismo, del cual es, según me parece, el desarrollo natural y la explicación general, de modo que debe ser adoptada durante todo el tiempo que se considere oportuno emplear directamente este método.
Paso ahora a la exposición general de las otras dos concepciones fundamentales del análisis trascendental, limitándome en cada una a su idea principal, pues el carácter filosófico del análisis ha quedado suficientemente determinado más arriba en el examen de la concepción de Leibniz, en la que me he detenido especialmente porque permite ser comprendida más fácilmente en su conjunto y descrita con mayor rapidez.