Ahora bien, en estos casos es evidente que la ecuación diferencial no es inmediatamente apta para la integración.
Previamente es necesario que las diferenciales de las funciones que se suponen conocidas, las cuales se han empleado como intermediarias, sean enteramente eliminadas, para que puedan obtenerse ecuaciones entre las diferenciales de las funciones que son las únicas buscadas y las de las variables verdaderamente independientes, tras lo cual la cuestión depende únicamente del cálculo integral.
Ahora bien, esta eliminación preparatoria de ciertos diferenciales, con el fin de reducir los infinitesimales al menor número posible, pertenece simplemente al cálculo diferencial; pues evidentemente debe hacerse determinando, mediante las ecuaciones entre las funciones que se suponen conocidas, tomadas como intermediarias, las relaciones de sus diferenciales, lo cual es meramente una cuestión de diferenciación.
Así, por ejemplo, en el caso de las rectificaciones, primero será necesario calcular dy, o dy y dz, diferenciando la ecuación o las ecuaciones de cada curva propuesta; después de eliminar estas expresiones, la fórmula diferencial general arriba enunciada contendrá entonces únicamente ds y dx; una vez llegado a este punto, la eliminación de los infinitesimales solo podrá completarse mediante el cálculo integral.
Tal es, pues, la función general que corresponde necesariamente al cálculo diferencial en la solución completa de las cuestiones que exigen el empleo del análisis trascendente: producir, en la medida de lo posible, la eliminación de los infinitésimos, es decir, reducir en cada caso las ecuaciones diferenciales primitivas para que contengan únicamente los diferenciales de las variables verdaderamente independientes y los de las funciones buscadas, haciendo desaparecer, por eliminación, los diferenciales de todas las demás funciones conocidas que hayan podido tomarse como intermediarias en el momento de la formación de las ecuaciones diferenciales del problema que se está considerando.
- Empleo del Cálculo Diferencial por sí solo.
Para ciertas cuestiones que, aunque de escaso número, tienen sin embargo, como veremos más adelante, una importancia muy grande, las magnitudes que se buscan entran de manera directa, y no por sus diferenciales, en las ecuaciones diferenciales primitivas, las cuales contienen entonces de forma diferencial únicamente las diferentes funciones conocidas empleadas como intermediarias, de acuerdo con la explicación precedente.
Estos casos son los más favorables de todos; pues es evidente que el cálculo diferencial basta entonces por completo para la eliminación total de los infinitésimos, sin que la cuestión dé lugar a integración alguna. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, en el problema de las tangentes en geometría; en el de las velocidades en mecánica, etc.
- Empleo exclusivo del cálculo integral. Finalmente, algunas otras cuestiones, cuyo número es también muy pequeño, pero cuya importancia no es menos grande, presentan un segundo caso excepcional, que en su naturaleza es exactamente el inverso del precedente. Son aquellas en las que las ecuaciones diferenciales resultan inmediatamente listas para la integración porque contienen, en su primera formación, únicamente los infinitesimales que se relacionan con las funciones buscadas, o con las variables verdaderamente independientes, sin que sea necesario introducir, de manera diferencial, otras funciones como