# MÉTODO DE LEIBNITZ.
Elementos infinitamente pequeños. Esto consiste en introducir en el cálculo, con el fin de facilitar el establecimiento de ecuaciones, los elementos infinitamente pequeños de los cuales se considera que están compuestas todas las cantidades cuyas relaciones se buscan.
Estos elementos o diferenciales tendrán ciertas relaciones entre sí, que son constante y necesariamente más simples y fáciles de descubrir que las de las cantidades primitivas, y por medio de las cuales se nos permitirá (mediante un cálculo especial que tiene por objeto peculiar la eliminación de estos infinitesimales auxiliares) volver a las ecuaciones deseadas, las cuales habría sido de lo más frecuente imposible obtener directamente.
Este análisis indirecto puede tener diferentes grados de indirectibilidad; pues, cuando hay demasiada dificultad para formar inmediatamente la ecuación entre los diferenciales de las magnitudes bajo consideración, habrá que hacer una segunda aplicación del mismo artificio general, y tratar estos diferenciales, a su vez, como nuevas cantidades primitivas, y buscar una relación entre sus elementos infinitamente pequeños (los cuales, con referencia a los objetos finales de la cuestión, serán segundos diferenciales), y así sucesivamente; admitiendo la misma transformación ser repetida cualquier número de veces, bajo la condición de eliminar finalmente el número constantemente creciente de cantidades infinitesimales introducidas como auxiliares.
Una persona que aún no esté familiarizada con estas consideraciones no percibe de inmediato cómo el empleo de estas cantidades auxiliares puede facilitar el descubrimiento de las leyes analíticas de los fenómenos; pues, al ser los incrementos infinitamente pequeños de las magnitudes propuestas de la misma especie que ellas, parecería que sus relaciones no deberían obtenerse con mayor facilidad, dado que el valor mayor o menor de una cantidad no puede, de hecho, ejercer influencia alguna en una investigación que es necesariamente independiente, por su naturaleza, de toda idea de valor.
Sin embargo, es fácil explicar con mucha claridad, y de un modo bastante general, hasta qué punto debe simplificarse la cuestión mediante tal artificio.
Para este propósito, es necesario comenzar distinguiendo diferentes órdenes de cantidades infinitamente pequeñas, de las cuales se puede obtener una idea muy precisa considerándolas ya sea como las potencias sucesivas de una misma cantidad infinitamente pequeña primitiva, o bien como cantidades que pueden considerarse con razones finitas respecto a estas potencias; de modo que, para tomar un ejemplo, los diferenciales segundo, tercero, etc., de cualquier variable se clasifican como cantidades infinitamente pequeñas del segundo orden, del tercero, etc., porque es fácil descubrir en ellos múltiplos finitos de las potencias segunda, tercera, etc., de cierto primer diferencial.
Establecidas estas ideas preliminares, el espíritu del análisis infinitesimal consiste en despreciar constantemente las cantidades infinitamente pequeñas en comparación con las cantidades finitas, y en general las cantidades infinitamente pequeñas de cualquier orden que sea en comparación con todas las de un orden inferior. Se comprende enseguida cuánta libertad debe facilitar esto a la formación de ecuaciones entre los diferenciales de las cantidades, ya que, en lugar de estos diferenciales, podemos sustituir otros elementos que elijamos y que sean más simples de considerar, cuidando únicamente de ajustarnos a esta única condición: