Debemos además observar que la fórmula que expresaría la raíz de una ecuación del grado m incluiría necesariamente radicales del orden m (o funciones de una multiplicidad equivalente), a causa de las m determinaciones que debe admitir. Puesto que hemos visto, además, que esta fórmula debe también abarcar, como caso particular, aquella fórmula que corresponde a todo grado inferior, se sigue que contendría inevitablemente también radicales del grado inmediatamente inferior, del inmediatamente inferior a este, etc., de modo que, aun si fuese posible descubrirla, presentaría casi siempre una complicación demasiado grande como para poder ser empleada útilmente, a menos que lográsemos simplificarla, conservando al mismo tiempo toda su generalidad, mediante la introducción de una nueva clase de elementos analíticos de los que aún no tenemos ninguna idea. Tenemos, pues, razones para creer que, sin haber llegado ya aquí a los límites impuestos por la escasa extensión de nuestra inteligencia, no tardaríamos en alcanzarlos si prolongásemos activa y seriamente esta serie de investigaciones.
Es, además, importante observar que, aun suponiendo que hubiésemos obtenido la resolución de las ecuaciones algebraicas de un grado cualquiera, habríamos tratado todavía solo una parte muy pequeña del álgebra, propiamente dicha, es decir, del cálculo de las funciones directas, incluida la resolución de todas las ecuaciones que pueden formarse mediante las funciones analíticas conocidas.
Finalmente, debemos recordar que, por una ley indiscutible de la naturaleza humana —siendo nuestros medios para concebir nuevas cuestiones mucho más poderosos que nuestros recursos para resolverlas, o, en otras palabras, estando la mente humana mucho más dispuesta a inquirir que a razonar—, necesariamente permaneceremos siempre por debajo de la dificultad, sin importar a qué grado de desarrollo llegue nuestra labor intelectual.
Así, aunque algún día descubriéramos la resolución completa de todas las ecuaciones analíticas conocidas en la actualidad, por quimérica que sea la suposición, no cabe duda de que, antes de alcanzar este fin, y probablemente incluso como medio subsidiario, ya habríamos superado la dificultad (mucho menor, aunque todavía muy grande) de concebir nuevos elementos analíticos cuya introducción daría lugar a clases de ecuaciones de las que, en el presente, somos por completo ignorantes; de modo que una imperfección semejante en la ciencia algebraica se reproduciría continuamente, a pesar del aumento real y muy importante de la masa absoluta de nuestros conocimientos.
Lo que sabemos en álgebra. En el estado actual del álgebra, la resolución completa de las ecuaciones de los primeros cuatro grados, de cualquier ecuación binomia, de ciertas ecuaciones particulares de los grados superiores, y de un número muy pequeño de ecuaciones exponenciales, logarítmicas o circulares, constituyen los métodos fundamentales que presenta el cálculo de las funciones directas para la solución de los problemas matemáticos. Pero, por limitados que sean estos elementos, los geómetras han logrado, sin embargo, tratar de un modo verdaderamente admirable un número muy grande de cuestiones importantes, como veremos en el transcurso del volumen. Las mejoras generales introducidas desde hace un siglo en el sistema total del análisis matemático han tenido por objeto principal hacer inconmensurablemente útil este pequeño conocimiento que poseemos, en lugar de tender a aumentarlo.