naturaleza completamente diferente de las funciones primitivas, de modo que pueden dar lugar a relaciones más simples y formadas con mayor facilidad: de donde resultan las admirables propiedades fundamentales del análisis trascendental, que ya han sido explicadas.
Pero no ocurre lo mismo con las diferencias consideradas por Taylor; pues estas diferencias son, por su naturaleza, funciones esencialmente similares a aquellas que las han producido, circunstancia que las hace poco idóneas para facilitar el establecimiento de ecuaciones, e impide que conduzcan a relaciones más generales.
Toda ecuación de diferencias finitas es verdaderamente, en el fondo, una ecuación que se relaciona directamente con las mismas magnitudes cuyos estados sucesivos se comparan. El andamiaje de los nuevos signos, que produce una ilusión respecto al verdadero carácter de estas ecuaciones, lo disimula, sin embargo, de un modo muy imperfecto, puesto que siempre podría hacerse evidente con facilidad reemplazando las diferencias por las combinaciones equivalentes de las magnitudes primitivas, de las cuales en realidad no son más que designaciones abreviadas.
Por tanto, el cálculo de Taylor nunca ha ofrecido, y jamás podrá ofrecer, en ninguna cuestión de geometría o de mecánica, esa potente ayuda general que hemos visto resultar necesariamente del análisis de Leibniz. Lagrange ha demostrado, por lo demás, con mucha claridad que la pretendida analogía observada entre el cálculo de diferencias y el cálculo infinitesimal era radicalmente viciosa, en el sentido de que las fórmulas pertenecientes al primer cálculo no pueden suministrar jamás, como casos particulares, aquellas que pertenecen al segundo, cuya naturaleza es esencialmente distinta.
De estas consideraciones me inclino a pensar que el cálculo de diferencias finitas está, por lo general, mal clasificado dentro del análisis trascendental propiamente dicho, es decir, con el cálculo de funciones indirectas. Lo considero, por el contrario, de acuerdo con los puntos de vista de Lagrange, como una rama muy extensa y muy importante del análisis ordinario, es decir, de aquel que he denominado cálculo de funciones directas, siendo las ecuaciones que este considera siempre, a pesar de la notación, ecuaciones directas simples.
# TEORÍA GENERAL DE LAS SERIES.
Para resumir tan brevemente como sea posible la explicación precedente, el cálculo de Taylor debe considerarse como teniendo constantemente por objeto verdadero la teoría general de las Series, cuyos casos más simples habían sido los únicos considerados antes de aquel ilustre geómetra.
Debí, propiamente, haber mencionado esta importante teoría al tratar, en el segundo capítulo, del Álgebra propiamente dicha, de la cual es una rama tan extensa. Pero, para evitar una doble referencia a ella, he preferido señalarla únicamente en la consideración del cálculo de diferencias finitas, el cual, reducido a su expresión general más simple, no es más que un estudio lógico completo de las cuestiones relativas a las series.
Toda Serie, o sucesión de números deducidos unos de otros según una ley constante, da lugar necesariamente a estas dos cuestiones fundamentales:
1°. Suponiéndose conocida la ley de la serie, hallar la expresión de su término general, de modo que se pueda calcular inmediatamente un término cualquiera sin estar obligado a formar sucesivamente todos los términos precedentes.