Entre las mayores ventajas especiales del método de las variaciones, en comparación con las anteriores soluciones aisladas de los problemas isoperimétricos, se encuentra la importante consideración de lo que Lagrange llama Ecuaciones de límites, las cuales habían sido enteramente negligidas antes de él, aunque sin ellas la mayor parte de las soluciones particulares permanecía necesariamente incompleta. Cuando los límites de las integrales propuestas han de ser fijos, al ser sus variaciones nulas, no hay ocasión de prestarles atención. Pero ya no es así cuando estos límites, en vez de ser rigurosamente invariables, están tan solo sujetos a ciertas condiciones; como, por ejemplo, si los dos puntos entre los cuales debe trazarse la curva requerida no son fijos, y solo han de permanecer sobre líneas o superficies dadas. Entonces es necesario prestar atención a la variación de sus coordenadas, y establecer entre ellas las relaciones que corresponden a las ecuaciones de estas líneas o de estas superficies.
Una consideración más general.
Esta consideración esencial no es más que el complemento final de otra más general y más importante relativa a las variaciones de diferentes variables independientes. Si estas variables son verdaderamente independientes entre sí, como cuando comparamos todas las curvas imaginables susceptibles de ser trazadas entre dos puntos, ocurrirá lo mismo con sus variaciones y, en consecuencia, los términos relativos a cada una de estas variaciones deberán ser separadamente iguales a cero en la ecuación general que expresa el máximo o el mínimo.
Pero si, por el contrario, suponemos que las variables están sujetas a ciertas condiciones fijas, será necesario tener en cuenta la relación resultante entre sus variaciones, de modo que el número de ecuaciones en las que se descompone entonces esta ecuación general sea siempre igual únicamente al número de las variables que siguen siendo verdaderamente independientes.
Es así, por ejemplo, que en lugar de buscar el camino más corto entre dos puntos cualesquiera, escogiéndolo entre todos los posibles, puede proponerse encontrar solo cuál es el más corto entre todos los que pueden trazarse sobre una superficie dada; un problema cuya solución general constituye ciertamente una de las aplicaciones más hermosas del método de las variaciones.
Cuestiones de la segunda clase. Los problemas en los que se consideran tales condiciones modificadoras se acercan mucho, por su naturaleza, a la segunda clase general de aplicaciones del método de variaciones, caracterizada anteriormente como consistente en la investigación de máximos y mínimos relativos.
Existe, sin embargo, esta diferencia esencial entre ambos casos, que en este último la modificación se expresa mediante una integral que depende de la función buscada, mientras que en el otro se designa mediante una ecuación finita que se da inmediatamente.
Por consiguiente, es evidente que la investigación de los máximos y mínimos relativos es constante y necesariamente más complicada que la de los máximos y mínimos absolutos.
Por fortuna, una teoría general muy sumamente importante, descubierta por el genio del gran Euler antes de la invención del cálculo de variaciones, proporciona un medio uniforme y muy sencillo de hacer que una de estas dos clases de cuestiones dependa de la otra. Consiste en que, si añadimos a la integral que ha de ser un máximo o un mínimo un múltiplo constante e indeterminado de aquella que, por la naturaleza del problema, ha de permanecer constante, bastará con buscar, mediante el método general de Lagrange arriba indicado, el máximo o mínimo absoluto de toda esta expresión.