Para completar este esbozo, debe añadirse que las superficies mismas proporcionan un nuevo medio general de concebir nuevas curvas, puesto que cada curva puede considerarse producida por la intersección de dos superficies.
Es de este modo, en efecto, como se obtuvieron las primeras líneas que podemos considerar verdaderamente inventadas por los geómetras, puesto que la naturaleza dio directamente la línea recta y el círculo.
Sabemos que la elipse, la parábola y la hipérbola, las únicas curvas estudiadas por completo por los antiguos, fueron concebidas en su origen únicamente como el resultado de la intersección de un cono de base circular con un plano en diferentes posiciones.
Es evidente que, mediante el empleo combinado de estos diferentes medios generales para la formación de líneas y de superficies, podríamos producir una serie rigurosamente infinita de formas distintas a partir de un número muy pequeño de figuras proporcionadas directamente por la observación.
Invención analítica de curvas, etc.
Finalmente, todos los diversos medios directos para la invención de figuras apenas tienen ya mayor importancia, desde que la geometría racional ha asumido su carácter definitivo en manos de Descartes. En efecto, como veremos con más detalle en el capítulo iii, la invención de figuras se reduce ahora a la invención de ecuaciones, de modo que nada es más fácil que concebir nuevas líneas y nuevas superficies, cambiando a voluntad las funciones introducidas en las ecuaciones.
Este sencillo procedimiento abstracto es, a este respecto, infinitamente más fructífero que todos los recursos directos de la geometría, desarrollados por la imaginación más poderosa, que se dedicara exclusivamente a ese orden de concepciones. Explica también, de la manera más general y más sorprendente, la variedad necesariamente infinita de las formas geométricas, que corresponde así a la diversidad de las funciones analíticas.
Por último, muestra no menos claramente que las diferentes formas de superficies deben ser aún más numerosas que las de las líneas, puesto que las líneas están representadas analíticamente por ecuaciones con dos variables, mientras que las superficies dan lugar a ecuaciones con tres variables, que presentan necesariamente una mayor diversidad.
Las consideraciones precedentes bastan para mostrar claramente la extensión rigurosamente infinita de cada una de las tres secciones generales de la geometría.
# AMPLIACIÓN DE LA DEFINICIÓN ORIGINAL.
Para completar la formación de una idea exacta y suficientemente extendida de la naturaleza de las investigaciones geométricas, es indispensable ahora volver a la definición general dada arriba, con el fin de presentarla bajo un nuevo punto de vista, sin el cual la ciencia completa solo sería concebida muy imperfectamente.
Cuando asignamos como objeto de la geometría la medida de toda clase de líneas, superficies y volúmenes, es decir, según se ha explicado, la reducción de todas las comparaciones geométricas a simples comparaciones de líneas rectas, tenemos evidentemente la ventaja de indicar un destino general muy preciso y muy fácil de comprender.