cuestiones muy poco importantes.
Una diferencia no menos importante entre ambos sistemas se manifiesta cuando pasamos a considerar la geometría desde el punto de vista concreto.
En efecto, ya hemos observado que la relación de lo abstracto con lo concreto en la geometría solo puede fundarse sobre bases racionales en la medida en que las investigaciones se hagan recaer directamente sobre todas las figuras imaginables.
Al estudiar las líneas solo una por una, cualquiera que sea el número —siempre necesariamente muy pequeño— de aquellas que hayamos considerado, la aplicación de tales teorías a las figuras que existen realmente en la naturaleza no tendrá jamás otro carácter que el de ser esencialmente accidental, puesto que nada nos asegura que estas figuras puedan realmente subsumirse en los tipos abstractos considerados por los geómetras.
Así, por ejemplo, hay ciertamente algo fortuito en la feliz relación establecida entre las especulaciones de los geómetras griegos sobre las secciones cónicas y la determinación de las verdaderas órbitas planetarias.
Al continuar las investigaciones geométricas según el mismo plan, no había ninguna buena razón para esperar coincidencias similares; y habría sido posible, en estos estudios especiales, que las investigaciones de los geómetras se hubieran dirigido hacia figuras abstractas enteramente incapaces de cualquier aplicación, mientras descuidaban otras, susceptibles tal vez de una aplicación importante e inmediata.
Es evidente, al menos, que nada garantizaba positivamente la aplicabilidad necesaria de las especulaciones geométricas. Muy otra es la cuestión en la geometría moderna. Por la mera circunstancia de que en ella procedemos mediante cuestiones generales relativas a cualquier figura que sea, tenemos de antemano la evidente certeza de que las figuras que existen realmente en el mundo exterior no podrían en ningún caso escapar a la teoría apropiada si el fenómeno geométrico que esta considera se presenta en ellas.
De estas diferentes consideraciones, vemos que el antiguo sistema de geometría posee esencialmente el carácter de la infancia de la ciencia, la cual no comenzó a volverse completamente racional sino hasta después de la revolución filosófica producida por Descartes.
Pero es evidente, por otra parte, que la geometría no podía ser concebida en un principio sino de esta manera especial. La geometría general no habría sido posible, y su necesidad ni siquiera se habría sentido, si una larga serie de trabajos especiales sobre las figuras más simples no hubiera proporcionado previamente las bases para la concepción de Descartes, y no hubiera hecho patente la imposibilidad de persistir indefinidamente en la filosofía geométrica primitiva.
Lo antiguo, base de lo moderno. De esta última consideración debemos inferir que, aunque la geometría que he llamado general debe considerarse ahora como la única geometría dogmática verdadera, y a la que nos limitaremos principalmente, ya que la otra apenas tiene mucho más que un interés histórico, sin embargo, no es posible prescindir por completo de la geometría especial en una exposición racional de la ciencia.
Sin duda no necesitamos tomar prestados directamente de la geometría antigua todos los resultados que ha proporcionado; pero, por la propia naturaleza del asunto, es necesariamente imposible prescindir por completo del método antiguo, que siempre servirá como la base preliminar de la ciencia, tanto de forma dogmática como histórica. La razón de esto es fácil de comprender.