ocurre muy otra cosa con el Cálculo Aritmético.
Por consiguiente, el número de operaciones aritméticas verdaderamente distintas es tan solo el determinado por el número de las funciones abstractas elementales, cuya lista, muy limitada, se ha dado más arriba.
La determinación de los valores de estas diez funciones da necesariamente la de todas las funciones, infinitas en número, que se consideran en el conjunto del análisis matemático, al menos tal como este existe en la actualidad.
No puede haber nuevas operaciones aritméticas sin la creación de elementos analíticos verdaderamente nuevos, cuyo número debe ser siempre sumamente pequeño.
El campo de la aritmética es, pues, por su naturaleza, extraordinariamente restringido, mientras que el del álgebra es rigurosamente indefinido.
Es, sin embargo, importante señalar que el dominio del cálculo de valores es, en realidad, mucho más extenso de lo que comúnmente se representa; pues varias cuestiones verdaderamente aritméticas, ya que consisten en determinaciones de valores, no se clasifican ordinariamente como tales, porque estamos acostumbrados a tratarlas solo como incidentales en medio de un conjunto de investigaciones analíticas más o menos elevadas, siendo la opinión demasiado alta que comúnmente se forma de la influencia de los signos, una vez más, la causa principal de esta confusión de ideas.
Por lo tanto, no solo la construcción de una tabla de logaritmos, sino también el cálculo de las tablas trigonométricas, son verdaderas operaciones aritméticas de un orden superior.
Podemos citar asimismo como pertenecientes a la misma clase, aunque en un orden muy distinto y más elevado, todos los métodos mediante los cuales determinamos directamente el valor de cualquier función para cada sistema particular de valores atribuidos a las cantidades de las que depende, cuando no podemos expresar en términos generales la forma explícita de dicha función.
En este punto de vista, la solución numérica de cuestiones que no podemos resolver algebraicamente, e incluso el cálculo de «integrales definidas», cuyas integrales generales no conocemos, forman verdaderamente parte, a pesar de todas las apariencias, del dominio de la aritmética, en el cual debemos comprender necesariamente todo aquello que tiene por objeto la determinación de los valores de las funciones.
Las consideraciones relativas a este objeto son, de hecho, constantemente homogéneas, cualesquiera que sean las determinaciones en cuestión, y son siempre muy distintas de las consideraciones verdaderamente algebraicas.
Para hacernos una idea justa de la extensión real del cálculo de valores, debemos incluir en él asimismo aquella parte de la ciencia general del cálculo que lleva hoy el nombre de Teoría de Números, y que está todavía tan poco avanzada. Esta rama, muy extensa por su naturaleza, pero cuya importancia en el sistema general de la ciencia no es muy grande, tiene por objeto el descubrimiento de las propiedades inherentes a los diferentes números en virtud de sus valores, e independientes de cualquier sistema particular de numeración. Forma,