el que exista realmente.
La mayoría de las funciones en su origen, aun aquellas que en el presente son las más puramente abstractas, han comenzado por ser concretas; de modo que es fácil hacer comprender la distinción precedente citando únicamente los diversos puntos de vista sucesivos bajo los cuales, a medida que la ciencia se ha ido formando, los geómetras han considerado las funciones analíticas más simples.
Indicaré las potencias, por ejemplo, que en general se han convertido en funciones abstractas solo desde los trabajos de Vieta y Descartes.
Las funciones x2, x3, que en nuestro análisis actual se conciben tan bien como simplemente abstractas, eran, para los geómetras de la antigüedad, funciones perfectamente concretas, que expresaban la relación de la superficie de un cuadrado o del volumen de un cubo con la longitud de su lado. Estas tenían a sus ojos un carácter tan exclusivo de este tipo que solo por medio de las definiciones geométricas descubrieron las propiedades algebraicas elementales de estas funciones, relativas a la descomposición de la variable en dos partes, propiedades que en esa época eran solo teoremas reales de geometría, a los cuales no se les adjuntó un significado numérico sino mucho más tarde.
Tendré ocasión de citar pronto, por otra razón, un nuevo ejemplo, muy apto para hacer patente la distinción fundamental que acabo de exponer; es el de las funciones circulares, tanto directas como inversas, que en la actualidad todavía son a veces concretas, a veces abstractas, según el punto de vista bajo el cual se las considere.
À posteriori, una vez establecido el carácter general que hace