Para completar la exposición general de la concepción fundamental relativa al estudio analítico de las superficies, debe hacerse un examen filosófico de un último perfeccionamiento de la más alta importancia que Monge ha introducido en los elementos mismos de esta teoría, para la clasificación de las superficies en familias naturales, establecidas según el modo de generación y expresadas algebraicamente por ecuaciones diferenciales ordinarias, o por ecuaciones finitas que contienen funciones arbitrarias.
# CURVAS DE DOBLE CURVATURA.
Consideremos ahora el último punto de vista elemental de la geometría analítica de tres dimensiones; el relativo a la representación algebraica de las curvas consideradas en el espacio, de la manera más general.
Al continuar siguiendo el principio que se ha empleado constantemente, el del grado de indeterminación del lugar geométrico, correspondiente al grado de independencia de las variables, es evidente, como principio general, que cuando se requiere que un punto esté situado sobre cierta curva, una sola coordenada es suficiente para determinar completamente su posición, mediante la intersección de esta curva con la superficie que resulta de esta coordenada. Así, en este caso, las otras dos coordenadas del punto deben concebirse como funciones necesariamente determinadas y distintas de la primera.
De ello se deduce que toda línea, considerada en el espacio, queda representada analíticamente, ya no por una sola ecuación, sino por el sistema de dos ecuaciones entre las tres coordenadas de cualquiera de sus puntos. Es claro, en efecto, desde otro punto de vista, que, dado que cada una de estas ecuaciones, considerada por separado, expresa una cierta superficie, su combinación presenta la línea propuesta como la intersección de dos superficies determinadas.
Tal es la manera más general de concebir la representación algebraica de una línea en la geometría analítica de tres dimensiones. Esta concepción se considera comúnmente de un modo demasiado restringido cuando nos limitamos a considerar una línea como determinada por el sistema de sus dos proyecciones sobre dos de los planos coordenados; un sistema caracterizado, analíticamente, por esta peculiaridad, de que cada una de las dos ecuaciones de la línea contiene entonces solo dos de las tres coordenadas, en lugar de incluir simultáneamente las tres variables.
Esta consideración, que consiste en ver la línea como la intersección de dos superficies cilíndricas paralelas a dos de los tres ejes de las coordenadas, además del inconveniente de estar confinada al sistema rectilíneo ordinario, tiene el defecto, si nos atenemos estrictamente a él, de introducir dificultades inútiles en la representación analítica de las líneas, puesto que la combinación de estos dos cilindros evidentemente no sería siempre la más adecuada para formar las ecuaciones de una línea.
Así, considerando esta noción fundamental en toda su generalidad, será necesario en cada caso elegir, entre el número infinito de pares de superficies cuya intersección pudiera producir la curva propuesta, aquel que se preste mejor al establecimiento de las ecuaciones, por estar compuesto por las superficies mejor conocidas. Así, si el problema consiste en expresar analíticamente un círculo en el espacio, será evidentemente preferible considerarlo como la intersección de una esfera y un plano, antes que derivarlo de cualquier otra combinación de superficies que pudiera producirlo igualmente.