En cuanto a lo demás, uno de estos casos se deduce del otro de manera general, con la ayuda de un principio invariable y muy sencillo, que consiste en considerar el diferencial total de una función que es producido por los incrementos simultáneos de las diferentes variables independientes que contiene, como la suma de los diferenciales parciales que serían producidos por el incremento separado de cada variable a su vez, si todas las demás permanecieran constantes.
Es necesario, además, observar cuidadosamente, en relación con este tema, una nueva idea introducida por la distinción de funciones entre las de una variable y las de varias; es la consideración de estas diferentes funciones derivadas especiales, relativas a cada variable por separado, y cuyo número aumenta más y más en proporción a medida que el orden de derivación se hace más alto, y también cuando las variables se vuelven más numerosas.
De esto resulta que las relaciones diferenciales pertenecientes a funciones de varias variables son, por su naturaleza, mucho más indirectas y, sobre todo, mucho más indeterminadas que las relativas a funciones de una sola variable.
Esto se hace más evidente en el caso de las funciones implícitas, en las cuales, en lugar de las simples constantes arbitrarias que la eliminación hace desaparecer cuando formamos las ecuaciones diferenciales adecuadas para funciones de una sola variable, son las funciones arbitrarias de las variables propuestas las que entonces se eliminan; de lo que deben resultar dificultades especiales cuando dichas ecuaciones llegan a integrarse.
Finalmente, para completar este esbozo resumido de las diferentes partes esenciales del cálculo diferencial propiamente dicho, debo añadir que en la derivación de funciones implícitas, ya sea de una sola variable o de varias, es necesario hacer otra distinción; la del caso en que se requiere derivar a la vez diferentes funciones de este tipo, combinadas en ciertas ecuaciones primitivas, frente a aquel en que todas estas funciones están separadas.
Las funciones son evidentemente, de hecho, aún más implícitas en el primer caso que en el segundo, si consideramos que la misma imperfección del análisis ordinario, que nos prohíbe convertir cada función implícita en una función explícita equivalente, nos hace igualmente incapaces de separar las funciones que entran simultáneamente en cualquier sistema de ecuaciones.
Es necesario entonces diferenciar, no solo sin saber cómo resolver las ecuaciones primitivas, sino incluso sin poder efectuar las eliminaciones adecuadas entre ellas, produciendo así una nueva dificultad.
Reducción del todo a la Diferenciación de las diez Funciones elementales.
Tales son, pues, la conexión natural y la distribución lógica de las diferentes teorías principales que componen el sistema general de diferenciación. Puesto que la diferenciación de las funciones implícitas se deduce de la de las funciones explícitas mediante un único principio constante, y la diferenciación de funciones de varias variables se reduce mediante otro principio fijo a la de las funciones de una sola variable, la totalidad del cálculo diferencial se reduce finalmente a descansar sobre la diferenciación de funciones explícitas con una sola variable, la única que se ejecuta jamás directamente.
Ahora es fácil comprender que esta primera teoría, base necesaria de todo el sistema, consiste simplemente en la diferenciación de las diez funciones simples, que son los elementos uniformes de todas nuestras