La verdadera diferencia fundamental, aún imperfectamente comprendida, me parece consistir en la naturaleza misma de las cuestiones consideradas. En verdad, la geometría, considerada en su conjunto y supuesta dotada de entera perfección, debe, por un lado, como hemos visto, abarcar todas las figuras imaginables y, por otro, descubrir todas las propiedades de cada figura. Ella admite, a partir de esta doble consideración, ser tratada según dos planes esencialmente distintos; o bien,
- 1°, agrupando todas las cuestiones, por muy diferentes que sean, que se relacionen con una misma figura, y aislando aquellas relativas a cuerpos diferentes, por mucha analogía que pueda existir entre ellos; o bien,
- 2°, por el contrario, uniendo bajo un mismo punto de vista todas las investigaciones similares, se refieran a las figuras que fueren, y separando las cuestiones relativas a las propiedades verdaderamente diferentes de un mismo cuerpo.
En una palabra, el conjunto de la geometría puede ordenarse esencialmente ya sea con referencia a los cuerpos estudiados o a los fenómenos por considerar. El primer plan, que es el más natural, fue el de los antiguos; el segundo, infinitamente más racional, es el de los modernos desde Descartes.
Geometría de los Antiguos. En verdad, la característica principal de la geometría antigua es que estudiaban, una por una, las diferentes líneas y las diferentes superficies, sin pasar al examen de una nueva figura hasta que creían haber agotado todo lo que había de interesante en las figuras ya conocidas.
De esta manera de proceder, cuando emprendían el estudio de una nueva curva, el conjunto de la labor dedicada a las precedentes no podía ofrecer directamente ninguna ayuda esencial, de otro modo que por la práctica geométrica en la que había entrenado a la mente. Cualquiera que pudiera ser la semejanza real de las cuestiones planteadas respecto a dos figuras diferentes, el conocimiento completo adquirido para una no podía dispensar en absoluto de retomar de nuevo toda la investigación para la otra.
Así, el progreso de la mente nunca estuvo asegurado; de modo que no podían estar seguros, de antemano, de obtener solución alguna, por muy análogo que el problema propuesto pudiera ser a cuestiones que ya habían sido resueltas. Así, por ejemplo, la determinación de las tangentes a las tres secciones cónicas no proporcionaba ninguna ayuda racional para trazar la tangente a cualquier otra curva nueva, como la concoide, la cisoide, etc. En una palabra, la geometría de los antiguos era, según la expresión propuesta más arriba, esencialmente especial.
Geometría de los modernos. En el sistema de los modernos, la geometría es, por el contrario, eminentemente general, es decir, relativa a cualesquiera figuras. Es fácil comprender, en primer lugar, que todas las expresiones geométricas de algún interés pueden plantearse con referencia a todas las figuras imaginables. Esto se ve directamente en los problemas fundamentales —de rectificaciones, cuadraturas y cubaturas— que constituyen, como se ha demostrado, el objeto final de la geometría. Pero esta observación no es menos indiscutible, incluso para las investigaciones que se refieren a las diferentes propiedades de las líneas y de las superficies, y de las cuales las más esenciales, tales como la cuestión de las tangentes o de los planos tangentes, la teoría de las curvaturas, etc., son evidentemente comunes a todas las figuras. Las muy pocas investigaciones que son verdaderamente propias de figuras particulares solo poseen una importancia sumamente secundaria.
Esto una vez comprendido, la geometría moderna consiste esencialmente en abstraer, para tratarlo por sí mismo, de un modo enteramente general, cada cuestión relativa a un mismo fenómeno geométrico, en cualesquiera cuerpos que se le considere.