SUS DOS DIVISIONES FUNDAMENTALES.
Hemos considerado hasta ahora la ciencia matemática únicamente como un todo, sin prestar atención a sus divisiones.
Debemos ahora, para completar esta visión general y formarnos una idea justa del carácter filosófico de la ciencia, considerar su división fundamental. Las divisiones secundarias serán examinadas en los capítulos siguientes.
Esta división principal, que estamos a punto de investigar, solo puede ser verdaderamente racional y derivada de la naturaleza real del sujeto en la medida en que se nos presente espontáneamente al hacer el análisis exacto de una cuestión matemática completa.
Por lo tanto, habiendo determinado anteriormente cuál es el objeto general de las labores matemáticas, caracterizaremos ahora con precisión los principales órdenes diferentes de investigaciones de los que se componen constantemente.
Sus diferentes objetos.
La solución completa de toda cuestión matemática se divide necesariamente en dos partes, de naturalezas esencialmente distintas y con relaciones invariablemente determinadas. Hemos visto que toda investigación matemática tiene por objeto determinar magnitudes desconocidas, según las relaciones entre ellas y las magnitudes conocidas.
Ahora bien, para este objeto es evidentemente necesario, en primer lugar, determinar con precisión las relaciones que existen entre las cantidades que estamos considerando. Esta primera rama de las investigaciones constituye lo que llamo la parte concreta de la solución.
Cuando esta ha concluido, la cuestión cambia; ahora se reduce a una pura cuestión de números, que consiste simplemente en determinar números desconocidos, cuando sabemos qué relaciones precisas los conectan con números conocidos. Esta segunda rama de las investigaciones es lo que llamo la parte abstracta de la solución.
De aquí se sigue la división fundamental de la ciencia matemática general en dos grandes ciencias: las MATEMÁTICAS ABSTRACTAS y las MATEMÁTICAS CONCRETAS.
Este análisis puede observarse en toda cuestión matemática completa, por simple o complicada que sea. Un solo ejemplo bastará para hacerlo inteligible.
Retomando el fenómeno de la caída vertical de un cuerpo pesado, y considerando el caso más simple, vemos que para lograr determinar, por medio de la una y de la otra, la altura de donde el cuerpo ha caído y la duración de su caída, debemos comenzar por descubrir la relación exacta de estas dos cantidades, o, para usar el lenguaje de los geómetras, la ecuación que existe entre ellas. Antes de que esta primera investigación esté concluida, todo intento de determinar numéricamente el valor de una de estas dos magnitudes a partir de la otra sería evidentemente prematuro, pues carecería de base. No basta con saber vagamente que dependen la una de la otra —lo cual cualquiera percibe al punto—, sino que es necesario determinar en qué consiste esta dependencia. Esta indagación puede ser muy difícil y, de hecho, en el presente caso, constituye incomparablemente la mayor parte del problema.