Tal es la propiedad esencial del presente sistema trigonométrico, el cual de hecho no presentaría ninguna ventaja real si fuese necesario calcular continuamente la línea trigonomé-trica de cada ángulo que deba considerarse, o la inversa; el intermediario introducido resultaría entonces más molesto que conveniente.
Para comprender claramente la verdadera naturaleza de esta concepción, será útil compararla con otra aún más importante, destinada a producir un efecto análogo ya sea en sus relaciones algebraicas, o, más aún, en las aritméticas: la admirable teoría de los logaritmos.
Al examinar de manera filosófica la influencia de esta teoría, vemos en efecto que su resultado general es descomponer todas las operaciones aritméticas imaginables en dos partes distintas. La primera y más complicada de ellas es capaz de ser ejecutada de antemano de una vez por todas (puesto que depende únicamente de los números que deben considerarse, y en absoluto de las combinaciones infinitamente diversas en las que pueden entrar), y consiste en considerar a todos los números como potencias asignables de un número constante. La segunda parte del cálculo, que debe necesariamente ser recommenzada para cada nueva fórmula cuyo valor deba ser determinado, queda reducida desde entonces a ejecutar sobre estos exponentes operaciones correlativas que son infinitamente más simples. Me limito aquí a indicar meramente esta semejanza, que cualquiera puede desarrollar por sí mismo.
Debemos además observar, como una propiedad (secundaria en la actualidad, pero importantísima en su origen) del sistema trigonométrico adoptado, la circunstancia muy notable de que la determinación de los ángulos por sus líneas trigonométricas, o a la inversa, admite una solución aritmética (la única que es directamente indispensable para el destino especial de la trigonometría) sin la resolución previa de la cuestión algebraica correspondiente.
Es indudable que a tal peculiaridad debieron los antiguos la posibilidad de conocer la trigonometría. La investigación concebida de este modo era tanto más fácil cuanto que las tablas de cuerdas (que los antiguos tomaron naturalmente como las líneas trigonométricas) se habían construido previamente con un objeto muy distinto, en el curso de los trabajos de Arquímedes sobre la rectificación del círculo, de los cuales resultó la determinación efectiva de cierta serie de cuerdas; de modo que cuando Hiparco inventó posteriormente la trigonometría, pudo limitarse a completar dicha operación mediante intercalaciones adecuadas, lo cual muestra claramente la conexión de las ideas en ese asunto.
El aumento de dichas líneas trigonométricas.
Para completar este esbozo filosófico de la trigonometría, conviene ahora observar que la extensión de las mismas consideraciones que nos llevan a reemplazar ángulos o arcos de círculos por líneas rectas, con el fin de simplificar nuestras ecuaciones, debe llevarnos también a emplear simultáneamente varias líneas trigonométricas, en lugar de limitarnos a una sola (como hicieron los antiguos), de modo que se perfeccione este sistema eligiendo la que resulte algebraicamente más conveniente en cada ocasión.
Desde este punto de vista, es evidente que el número de estas líneas no está en modo alguno limitado en sí mismo; siempre que estén determinadas por el arco y que lo determinen, cualquiera que sea la ley según la cual se deriven de él, son aptas para ser sustituidas por él en las ecuaciones.
Los árabes, y posteriormente los modernos, al limitarse a las construcciones más sencillas, elevaron a cuatro o cinco el número de líneas trigonométricas directas, el cual podría extenderse mucho más.