Como el cálculo de Taylor no descansa en una idea fundamental verdaderamente distinta, y no tiene nada de peculiar salvo su sistema de signos, nunca podría haber realmente ninguna ventaja importante en considerarlo como separado del análisis ordinario, del cual es, en realidad, solo una inmensa rama.
Esta consideración de las diferencias, por lo general inútil, aun cuando no origine complicaciones, me parece que conserva el carácter de una época en la que, al no ser las ideas analíticas suficientemente familiares para los geómetras, estos se veían llevados de manera natural a preferir las formas especiales aptas para las comparaciones numéricas simples.
# PERIODIC OR DISCONTINUOUS FUNCTIONS.
Sea como fuere, no debo terminar esta apreciación general del cálculo de diferencias finitas sin señalar una nueva concepción a la que ha dado origen, y que desde entonces ha adquirido una gran importancia.
Es la consideración de aquellas funciones periódicas o discontinuas que conservan el mismo valor para una serie infinita de valores de las variables correspondientes, sujetas a cierta ley, y que deben añadirse necesariamente a las integrales de las ecuaciones de diferencias finitas para hacerlas suficientemente generales, del mismo modo que se añaden simples constantes arbitrarias a todas las cuadraturas para completar su generalidad.
Esta idea, introducida primitivamente por Euler, ha sido desde entonces objeto de una extensa investigación por parte del Sr. Fourier, quien ha hecho de ella nuevas e importantes aplicaciones en su teoría matemática del calor.
# APLICACIONES DE ESTE CÁLCULO.
Series. Entre las principales aplicaciones generales que se han hecho del cálculo de diferencias finitas, sería propio colocar en el primer rango, como la más extensa y la más importante, la solución de cuestiones relativas a las series; si, como se ha demostrado, la teoría general de las series no debe ser considerada como constituyendo, por su naturaleza, el fundamento actual del cálculo de Taylor.
Interpolaciones. Apartada entonces esta gran clase de problemas, la más esencial de las aplicaciones verdaderas del análisis de Taylor es, sin duda, hasta el presente, el método general de las interpolaciones, empleado tan frecuente y útilmente en la investigación de las leyes empíricas de los fenómenos naturales. La cuestión consiste, como es bien sabido, en intercalar entre ciertos números dados otros números intermedios, sometidos a la misma ley que supondremos existente entre los primeros.
Podemos verificar abundantemente, en esta aplicación principal del cálculo de Taylor, cuán verdaderamente ajena y a menudo inconveniente es la consideración de las diferencias con respecto a las cuestiones que dependen de dicho análisis. En efecto, Lagrange ha reemplazado las fórmulas de interpolación, deducidas del algoritmo ordinario del cálculo de diferencias finitas, por fórmulas generales mucho más simples, que hoy en día se prefieren casi siempre, y que se han hallado directamente, sin hacer ningún uso de la noción de diferencias, que solo complica la cuestión.
Rectificación Aproximada, &c.