dificultad que encontramos al establecer la relación entre lo concreto y lo abstracto, y que destaca de manera tan prominente en cada gran cuestión matemática tomada por sí misma. Si el significado de la palabra ecuación fuera verdaderamente tan amplio como habitualmente suponemos en nuestra definición de ella, no se ve qué gran dificultad podría haber realmente, en general, para establecer las ecuaciones de cualquier problema que sea; pues el conjunto parecería consistir así en una simple cuestión de forma, que no debería jamás exigir ningún gran esfuerzo intelectual, dado que apenas podemos concebir ninguna relación precisa que no sea inmediatamente una cierta relación de igualdad, o que no pueda reducirse fácilmente a ella mediante algunas transformaciones muy sencillas.
Por consiguiente, cuando admitimos toda clase de funciones en la definición de ecuaciones, no explicamos en absoluto la extrema dificultad que casi siempre experimentamos al plantear un problema en forma de ecuación, y que tan a menudo puede compararse con los esfuerzos que exige la elaboración analítica de la ecuación una vez obtenida.
En una palabra, la idea abstracta y general ordinaria de una ecuación no corresponde en absoluto al significado real que los geómetras atribuyen a esa expresión en el desarrollo efectivo de la ciencia. He aquí, pues, un fallo lógico, un defecto de correlación, que es muy importante rectificar.
División de las funciones en abstractas y concretas.
Para conseguirlo, empiezo por distinguir dos clases de funciones: abstractas o analíticas, y funciones concretas. Las primeras son las únicas que pueden entrar en ecuaciones verdaderas. Podemos, por lo tanto, definir en adelante toda ecuación, de una manera exacta y suficientemente profunda, como una relación de igualdad entre dos funciones abstractas de las magnitudes consideradas.
Para no tener que volver más sobre esta definición fundamental, debo añadir aquí, como un complemento indispensable sin el cual la idea no sería suficientemente general, que estas funciones abstractas pueden referirse no solo a las magnitudes que el problema presenta por sí mismo, sino también a todas las demás magnitudes auxiliares que están vinculadas a él, y que a menudo podremos introducir, simplemente como un artificio matemático, con el único objeto de facilitar el descubrimiento de las ecuaciones de los fenómenos.
Me adelanto aquí sumariamente al resultado de una discusión general de la mayor importancia, que se encontrará al final de este capítulo. Volveremos ahora a la distinción esencial entre funciones abstractas y concretas.
Esta distinción puede establecerse de dos maneras, esencialmente diferentes, pero complementarias entre sí, à priori y à posteriori; es decir, caracterizando de manera general la naturaleza peculiar de cada especie de funciones, y haciendo luego la enumeración real de todas las funciones abstractas actualmente conocidas, al menos en lo que se refiere a los elementos de que están compuestas.
À priori, las funciones que denomino abstractas son aquellas que expresan un modo de dependencia entre magnitudes, que puede concebirse únicamente entre números, sin que haya necesidad de indicar fenómeno alguno en el que se realice. Lamo, por otra parte, concretas a aquellas funciones para las cuales el modo de dependencia expresado no puede definirse ni concebirse sino asignando un caso determinado de la física, la geometría, la mecánica, etc., en