Ejemplo. Tangentes.
Este modo de concebir el análisis trascendental puede ilustrarse mejor mediante su aplicación al más simple de los problemas examinados anteriormente: el de las tangentes.
En vez de concebir la tangente como la prolongación del elemento infinitamente pequeño de la curva, según la noción de Leibniz —o como el límite de las secantes, según las ideas de Newton—, Lagrange la considera, según su simple carácter geométrico, análogo a las definiciones de los antiguos, como una línea recta tal que ninguna otra línea recta puede pasar por el punto de contacto entre ella y la curva.
Luego, para determinar su dirección, debemos buscar la expresión general de su distancia a la curva, medida en cualquier dirección que sea —en la de la ordenada, por ejemplo— y disponer de la constante arbitraria relativa a la inclinación de la línea recta, que necesariamente entrará en esa expresión, de tal manera que se disminuya esa separación tanto como sea posible.
Ahora bien, esta distancia, siendo evidentemente igual a la diferencia de las dos ordenadas de la curva y de la línea recta, que corresponden a la misma abscisa nueva x + h, estará representada por la fórmula (f'(x) - t)h + qh2 + rh3 + etc., en la que t designa, como antes, la tangente trigonométrica desconocida del ángulo que la línea requerida forma con el eje de abscisas, y f'(x) la función derivada de la ordenada f(x).
Comprendido esto, es fácil ver que, al disponer de t de modo que el primer término de la fórmula precedente sea igual a cero, haremos que el intervalo entre las dos líneas sea el menor posible, de modo que cualquier otra línea para la cual t no tuviera el valor así determinado se apartaría necesariamente más de la curva propuesta.
Tenemos, pues, para la dirección de la tangente buscada, la expresión general t = f'(x), un resultado exactamente equivalente a los proporcionados por el Método Infinitesimal y el Método de los Límites. Aún nos queda por hallar f'(x) en cada curva en particular, lo cual es una mera cuestión de análisis, totalmente idéntica a las que se presentan, en esta etapa de las operaciones, mediante los otros métodos.
Tras estas consideraciones sobre las principales concepciones generales, no necesitamos detenernos a examinar otras teorías propuestas, como el Cálculo de las cantidades que anulan de Euler, que son en realidad modificaciones —más o menos importantes y, por lo demás, ya no utilizadas— de los métodos precedentes.
Me toca ahora establecer la comparación y la apreciación de estos tres métodos fundamentales. Su perfecta y necesaria conformidad debe demostrarse primero de manera general.
# IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS TRES MÉTODOS.
Es, en primer lugar, evidente por lo que precede, considerando estos tres métodos en cuanto a su destino real, independientemente de sus ideas preliminares, que todos consisten en el mismo artificio lógico general, que ha sido caracterizado en el primer capítulo; a saber, la introducción de cierto sistema de magnitudes auxiliares, que guardan relaciones uniformes con aquellas que son los objetos especiales de la investigación, y sustituidas por ellas expresamente para facilitar la expresión analítica de las leyes matemáticas de los fenómenos, aunque finalmente deban ser eliminadas con la ayuda de un cálculo especial.