intermediarias. Si en estos nuevos casos introducimos estas últimas funciones, puesto que, por hipótesis, entrarán directamente y no por sus diferenciales, el álgebra ordinaria bastará para eliminarlas y para hacer que la cuestión dependa únicamente del cálculo integral. El cálculo diferencial no tendrá entonces un papel especial en la solución completa del problema, el cual dependerá enteramente del cálculo integral. La cuestión general de las cuadraturas ofrece un ejemplo importante de esto, pues la ecuación diferencial, al ser entonces dA = ydx, se volverá inmediatamente apta para la integración tan pronto como hayamos eliminado, por medio de la ecuación de la curva propuesta, la función intermediaria y, que no entra en ella de manera diferencial. Las mismas circunstancias se presentan en el problema de las cubaturas, y en algunos otros igualmente importantes.
Tres clases de Cuestiones que de aquí resultan.
Como resultado general de las consideraciones anteriores, es necesario, pues, dividir en tres clases las cuestiones matemáticas que exigen el uso del análisis trascendente;
- la primera clase comprende los problemas susceptibles de ser enteramente resueltos mediante el cálculo diferencial por sí solo, sin necesidad alguna del cálculo integral;
- la segunda, aquellos que son, por el contrario, enteramente dependientes del cálculo integral, sin que el cálculo diferencial intervenga para nada en su solución;
- por último, en la tercera y más extensa, que constituye el caso normal, siendo los otros dos puramente excepcionales, el cálculo diferencial y el cálculo integral tienen cada uno a su vez un papel distinto y necesario en la solución completa del problema, haciendo que el primero someta las ecuaciones diferenciales primitivas a una preparación indispensable para la aplicación del segundo.
Tales son exactamente sus relaciones generales, de las que por lo general se forman ideas demasiado indefinidas e inexactas.
Examinemos ahora de forma general la composición lógica de cada cálculo, empezando por el diferencial.
# EL CÁLCULO DIFERENCIAL.
En la exposición del análisis trascendental, es costumbre entremezclar con la parte puramente analítica (que se reduce al tratamiento de los principios abstractos de la derivación y la integración) el estudio de sus diferentes aplicaciones principales, especialmente aquellas que conciernen a la geometría.
Esta confusión de ideas, que es consecuencia de la manera real en que la ciencia se ha desarrollado, presenta, desde el punto de vista dogmático, graves inconvenientes en este sentido, a saber, que dificulta concebir adecuadamente ya sea el análisis o la geometría.
Habiendo de considerar aquí la coordinación más racional que sea posible, incluiré en el siguiente bosquejo únicamente el cálculo de funciones indirectas propiamente dicho, reservando para la porción de este volumen que se relaciona con el estudio filosófico de las matemáticas concretas el examen general de sus grandes aplicaciones geométricas y mecánicas.
Dos Casos: Funciones explícitas e implícitas.