Expression of Surfaces by Equations.
This equation, more or less easy to be discovered, but always possible, will be the analytical definition of the proposed surface, since it must be verified for all the points of that surface, and for them alone. If the surface undergoes any change whatever, even a simple change of place, the equation must undergo a more or less serious corresponding modification.
In a word, all geometrical phenomena relating to surfaces will admit of being translated by certain equivalent analytical conditions appropriate to equations of three variables; and in the establishment and interpretation of this general and necessary harmony will essentially consist the science of analytical geometry of three dimensions.
Expresión de las ecuaciones por medio de superficies.
Considerando a continuación esta concepción fundamental desde el punto de vista inverso, vemos de la misma manera que toda ecuación de tres variables puede, en general, ser representada geométricamente por una superficie determinada, definida primitivamente por su propia propiedad característica, a saber, que las coordenadas de todos sus puntos conservan siempre la relación mutua enunciada en dicha ecuación.
Este lugar geométrico cambiará evidentemente, para una misma ecuación, según el sistema de coordenadas que sirva para la construcción de esta representación. Si adoptamos, por ejemplo, el sistema rectilíneo, es claro que en la ecuación entre las tres variables, x, y, z, cada valor particular atribuido a z dará una ecuación entre x e y, cuyo lugar geométrico será una cierta línea situada en un plano paralelo al plano de x e y, y a una distancia de este último igual al valor de z; de modo que el lugar geométrico completo se presentará como compuesto por una serie infinita de líneas superpuestas en una serie de planos paralelos (salvo las interrupciones que puedan existir), y formará en consecuencia una verdadera superficie.
Sucedería lo mismo al considerar cualquier otro sistema de coordenadas, aunque la construcción geométrica de la ecuación resulte más difícil de seguir.
Tal es la concepción elemental, el complemento de la idea original de Descartes, sobre la cual se funda la geometría general relativa a las superficies. Sería inútil abordar aquí directamente las otras consideraciones que se han indicado más arriba, respecto a las líneas, y que cualquiera puede extender fácilmente a las superficies; ya sea para mostrar que toda definición de una superficie por cualquier método de generación que sea es en realidad una ecuación directa de dicha superficie en un cierto sistema de coordenadas, o para determinar entre todos los diferentes sistemas de coordenadas posibles aquel que es generalmente el más conveniente. Solo añadiré, sobre este último punto, que la superioridad necesaria del sistema rectilíneo ordinario, en cuanto a la representación de las ecuaciones, es evidentemente aún más marcada en la geometría analítica de tres dimensiones que en la de dos, debido a la incomparablemente mayor complejidad geométrica que resultaría de la elección de cualquier otro sistema. Esto puede verificarse de la manera más striking [nota: omitida por fidelidad, usar "llamativa" o "sorprendente"] sorprendente considerando el sistema polar en particular, que es el más empleado después del sistema rectilíneo ordinario, tanto para las superficies como para las curvas planas, y por las mismas razones.