Es, pues, necesario hallar cuáles deben ser las dos funciones desconocidas f y π para que esta integral sea un mínimo.
Del mismo modo, pedir cuál es la curva entre todas las curvas isoperimétricas planas, que encierra la mayor área, es lo mismo que proponer hallar, entre todas las funciones f(x) que pueden dar un cierto valor constante a la integral
∫dx√(1 + (f'(x) )2), aquella que hace que la integral ∫f(x)dx, tomada entre los mismos límites, sea un máximo. Es evidentemente siempre así en otras cuestiones de esta clase.
Métodos de los antiguos geómetras.
En las soluciones que los geómetras anteriores a Lagrange dieron de estos problemas, se propusieron, en esencia, reducirlos a la teoría ordinaria de máximos y mínimos. Pero los medios empleados para efectuar esta transformación consistían en artificios simples y especiales, peculiares de cada caso, y cuyo descubrimiento no admitía reglas invariables y ciertas, de modo que toda cuestión verdaderamente nueva reproducía constantemente dificultades análogas, sin que las soluciones obtenidas previamente fueran de verdadera ayuda esencial, salvo por su disciplina y entrenamiento de la mente.
En una palabra, esta rama de las matemáticas presentaba, entonces, la imperfección necesaria que existe siempre cuando la parte común a todas las cuestiones de una misma clase aún no ha sido captada con claridad para ser tratada de una manera abstracta y, desde entonces, general.
# MÉTODO DE LAGRANGE.
Lagrange, al esforzarse por hacer que todos los diferentes problemas de isoperímetros dependieran de un análisis común, organizado en un cálculo distinto, fue llevado a concebir un nuevo tipo de diferenciación, a la cual ha aplicado la característica , reservando la característica d para los diferenciales comunes.
Estas diferencias de una nueva especie, que él ha designado con el nombre de Variaciones, consisten en los incrementos infinitamente pequeños que reciben las integrales, no en virtud de incrementos análogos por parte de las variables correspondientes, como en el análisis trascendente ordinario, sino suponiendo que la forma de la función colocada bajo el signo de integración experimenta un cambio infinitamente pequeño.
Esta distinción se comprende fácilmente con referencia a las curvas, en las que vemos que la ordenada, o cualquier otra variable de la curva, admite dos clases de diferenciales, evidentemente muy diferentes, según pasemos de un punto a otro infinitamente próximo en la misma curva, o al punto correspondiente de la curva infinitamente próxima producida por una modificación cierta y determinada de la primera curva.
Es además evidente que las variaciones relativas de diferentes magnitudes conectadas entre sí por cualesquiera leyes se calculan, salvo la característica, casi exactamente de la misma manera que los diferenciales.
Finalmente, de la noción general de variaciones se deducen de igual manera los principios fundamentales del algoritmo propio de este método, consistentes simplemente en la libertad, evidentemente permisible, de transponer a voluntad las características especialmente apropiadas a las variaciones, antes o después de aquellas que corresponden a los diferenciales ordinarios.