Ahora bien, el Análisis de las Variaciones, considerado desde el punto de vista más filosófico, puede ser considerado como esencialmente destinado, por su naturaleza, a traer al alcance del cálculo el establecimiento efectivo de las ecuaciones diferenciales; porque, en un gran número de cuestiones importantes y difíciles, tal es el efecto general de las ecuaciones variadas, las cuales, aún más indirectas que las ecuaciones diferenciales simples con respecto a los objetos especiales de la investigación, son también mucho más fáciles de formar, y a partir de las cuales podemos entonces, mediante métodos analíticos invariables y completos, cuyo objeto es eliminar el nuevo orden de infinitésimos auxiliares que se han introducido, deducir aquellas ecuaciones diferenciales ordinarias que a menudo habría sido imposible establecer directamente.
El método de las variaciones constituye, pues, la parte más sublime de ese vasto sistema de análisis matemático que, partiendo de los elementos más simples del álgebra, organiza, mediante una sucesión ininterrumpida de ideas, métodos generales cada vez más potentes para el estudio de la filosofía natural y que, en su conjunto, presenta el monumento más incomparablemente imponente e inequívoco del poder del intelecto humano.
Debemos, sin embargo, admitir también que, siendo las concepciones que se consideran habitualmente en el método de las variaciones, por su naturaleza, más indirectas, más generales y, sobre todo, más abstractas que todas las demás, el empleo de tal método exige necesaria y continuamente el mayor grado conocido de esfuerzo intelectual para no perder nunca de vista el objeto preciso de la investigación, al seguir razonamientos que ofrecen a la mente puntos de apoyo tan inciertos y en los cuales los signos apenas sirven de ayuda.
Debemos atribuir sin duda en gran parte a esta dificultad el poco uso real que los geómetras, con excepción de Lagrange, han hecho hasta ahora de tan admirable concepción.