de este modo, en efecto, como la mente humana ha procedido para llegar a la representación analítica de las figuras geométricas, relacionándose su concepción directamente solo con las posiciones. Toda la dificultad elemental queda entonces propiamente reducida a la de remitir las ideas de situación a las ideas de magnitud. Tal es el destino directo de la concepción preliminar sobre la cual Descartes ha establecido el sistema general de la geometría analítica.
Su labor filosófica, en este sentido, ha consistido simplemente en la generalización total de una operación elemental, que podemos considerar natural a la mente humana, puesto que se realiza espontáneamente, por decirlo así, en todas las mentes, incluso en las más incultas.
Así, cuando tenemos que indicar la situación de un objeto sin señalarlo directamente, el método que adoptamos siempre, y evidentemente el único que puede emplearse, consiste en referir dicho objeto a otros que son conocidos, asignando la magnitud de los diversos elementos geométricos mediante los cuales concebimos que está conectado con los objetos conocidos.
Estos elementos constituyen lo que Descartes, y después de él todos los geómetras, han llamado las coordenadas de cada punto considerado. Son necesariamente dos en número, si se sabe de antemano en qué plano está situado el punto; y tres, si puede encontrarse indistintamente en cualquier región del espacio.
Tantas construcciones diferentes como puedan imaginarse para determinar la posición de un punto, ya sea en un plano o en el espacio, otros tantos sistemas distintos de coordenadas pueden concebirse; son consecuentemente susceptibles de multiplicarse hasta el infinito.
Pero, cualquiera que sea el sistema adoptado, siempre habremos reducido las ideas de situación a simples ideas de magnitud, de modo que consideraremos el cambio en la posición de un punto como producido por meras variaciones numéricas en los valores de sus coordenadas.
Determinación de la posición de un punto.
Considerando al principio solo el caso menos complicado, el de la geometría plana, es de este modo como habitualmente determinamos la posición de un punto en un plano, mediante sus distancias a dos líneas rectas fijas consideradas como conocidas, que se llaman ejes, y que comúnmente se supone que son perpendiculares entre sí.
Este sistema es el adoptado con mayor frecuencia, debido a su sencillez; pero los geómetras emplean ocasionalmente una infinidad de otros. Así, la posición de un punto en un plano puede determinarse,
1°, por sus distancias a dos puntos fijos; o, 2°, por su distancia a un único punto fijo y la dirección de dicha distancia, estimada por el mayor o menor ángulo que forma con una línea recta fija, lo cual constituye el sistema de las llamadas coordenadas polares, el más utilizado después del sistema mencionado en primer lugar; o, 3°, por los ángulos que forman las líneas rectas trazadas desde el punto variable hasta dos puntos fijos con la línea recta que une a estos últimos; o, 4°, por las distancia de ese punto a una línea recta fija y a un punto fijo, etcétera.
En una palabra, no hay figura geométrica alguna a partir de la cual no sea posible deducir un cierto sistema de coordenadas más o menos susceptible de ser empleado.