La expresión, siempre posible, de las integrales en series infinitas, puede considerarse al principio como un medio general y afortunado de compensar la extrema imperfección del cálculo integral.
Pero el empleo de tales series, debido a su complicación y a la dificultad de descubrir la ley de sus términos, es por lo común de una utilidad moderada desde el punto de vista algebraico, aunque a veces se hayan deducido de ahí relaciones muy esenciales.
Es particularmente desde el punto de vista aritmético que este procedimiento adquiere una gran importancia, como medio para calcular las llamadas integrales definidas, es decir, los valores de las funciones requeridas para ciertos valores determinados de las variables correspondientes.
Una investigación de esta naturaleza corresponde exactamente, en análisis trascendental, a la resolución numérica de las ecuaciones en el análisis ordinario. Al verse generalmente incapaces de obtener la integral verdadera —llamada por oposición la integral general o indefinida; es decir, la función que, diferenciada, ha producido la fórmula diferencial propuesta—, los analistas se han visto obligados a emplearse en determinar al menos, sin conocer esta función, los valores numéricos particulares que esta tomaría al asignar ciertos valores designados a las variables.
Esto equivale evidentemente a resolver la cuestión aritmética sin haber resuelto previamente la algebraica correspondiente, que la mayoría de las veces es la más importante.
Un tal análisis es, pues, por su naturaleza, tan imperfecto como hemos visto que es la resolución numérica de las ecuaciones. Presenta, al igual que esta última, una viciosa confusión de consideraciones aritméticas y algebraicas, de donde resultan inconvenientes análogos, tanto desde el punto de vista puramente lógico como en las aplicaciones.
No necesitamos repetir aquí las consideraciones sugeridas en nuestro tercer capítulo. Pero se comprenderá que, siendo casi siempre incapaces de obtener las integrales verdaderas, es de la mayor importancia haber podido obtener esta solución, por incompleta y necesariamente insuficiente que sea.
Ahora bien, esto se ha conseguido afortunadamente en la actualidad para todos los casos, habiéndose reducido la determinación del valor de las integrales definidas a métodos enteramente generales, que no dejan nada que desear, en un gran número de casos, sino una menor complicación en los cálculos, un objetivo hacia el cual se dirigen actualmente todas las transformaciones especiales de los analistas.
Considerando ahora esta especie de aritmética trascendental como perfecta, la dificultad en las aplicaciones se reduce esencialmente a hacer que la investigación propuesta dependa, en última instancia, de una simple determinación de integrales definidas, lo cual evidentemente no siempre puede ser posible, cualquiera que sea la habilidad analítica que se emplee para efectuar dicha transformación.
Perspectivas del cálculo integral.
Por las consideraciones indicadas en este capítulo, vemos que, mientras que el cálculo diferencial constituye por su naturaleza un sistema limitado y perfecto, al que no queda nada esencial que añadir, el cálculo integral, o el sistema simple de integración, presenta necesariamente un campo inagotable para la actividad de la mente humana, independientemente de las aplicaciones indefinidas de las que el análisis trascendental es evidentemente susceptible.