casos.
Not to be farther restricted. While this preliminary portion of geometry, which cannot be founded on the application of the calculus, is reduced by its nature to a very limited series of fundamental researches, relating to the right line, polygonal areas, and polyhedrons, it is certain, on the other hand, that we cannot restrict it any more; although, by a veritable abuse of the spirit of analysis, it has been recently attempted to present the establishment of the principal theorems of elementary geometry under an algebraical point of view.
Thus some have pretended to demonstrate, by simple abstract considerations of mathematical analysis, the constant relation which exists between the three angles of a rectilinear triangle, the fundamental proposition of the theory of similar triangles, that of parallelopipedons, &c.; in a word, precisely the only geometrical propositions which cannot be obtained except by a direct study of the subject, without the calculus being susceptible of having any part in it.
Such aberrations are the unreflecting exaggerations of that natural and philosophical tendency which leads us to extend farther and farther the influence of analysis in mathematical studies. In mechanics, the pretended analytical demonstrations of the parallelogram of forces are of similar character.
La perversidad de un modo de proceder semejante se sigue de los principios expuestos con anterioridad. Ya hemos reconocido, en efecto, que, dado que el cálculo no es, ni puede ser, otra cosa que un medio de deducción, se manifestaría una idea radicalmente falsa de él al querer emplearlo para establecer los fundamentos elementales de cualquier ciencia; pues ¿sobre qué descansarían los razonamientos analíticos en semejante operación?
Una labor de esta índole, muy lejos de perfeccionar realmente el carácter filosófico de una ciencia, constituiría un retorno hacia la edad metafísica, al presentar los hechos reales como meras abstracciones lógicas.
Cuando examinamos en sí mismas estas pretendidas demostraciones analíticas de las proposiciones fundamentales de la geometría elemental, verificamos fácilmente su necesaria falta de sentido.
Todas se fundan en un modo vicioso de concebir el principio de homogeneidad, cuya verdadera idea general fue explicada en el segundo capítulo del libro precedente.
Estas demostraciones suponen que este principio no nos permite admitir la coexistencia en una misma ecuación de números obtenidos mediante diferentes comparaciones concretas, lo cual es evidentemente falso y contrario a la práctica constante de los geómetras.
Así, es fácil reconocer que, empleando la ley de homogeneidad en esta acepción arbitraria e ilegítima, se podría lograr «demostrar», con bastante aparente rigor, proposiciones cuya absurdidad se manifiesta a primera vista.
Examinando atentamente, por ejemplo, el procedimiento con cuya ayuda se ha intentado demostrar analíticamente que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo rectilíneo es constantemente igual a dos ángulos rectos, vemos que se funda en este principio preliminar de que, si dos triángulos tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales, el tercer ángulo del uno será necesariamente igual al tercer ángulo del otro.