Aquello que es designado por dx/dy en el método de Leibniz; aquello que debe ser anotado como L(Δy/Δx) en el de Newton; y aquello que Lagrange ha indicado por f'(x), es constantemente una misma función, vista desde tres puntos de vista diferentes, consistiendo propiamente las consideraciones de Leibniz y Newton en dar a conocer dos propiedades generales necesarias de la función derivada.
El análisis trascendental, examinado abstractamente y en su principio, es pues siempre el mismo, cualquiera que sea la concepción que se adopte, y los procedimientos del cálculo de las funciones indirectas son necesariamente idénticos en estos diferentes métodos, los cuales del mismo modo deben, para cualquier aplicación que sea, conducir constantemente a resultados rigurosamente uniformes.
# VALOR COMPARATIVO DE LOS TRES MÉTODOS.
Si ahora nos esforzamos en estimar el valor comparativo de estas tres concepciones equivalentes, hallaremos en cada una ventajas e inconvenientes que le son propios, y que todavía impiden a los geómetras confinarse a una sola de ellas, considerada como definitiva.
El de Leibniz. La concepción de Leibniz presenta incontestablemente, en todas sus aplicaciones, una superioridad muy marcada, al conducir de una manera mucho más rápida, y con mucho menos esfuerzo mental, a la formación de ecuaciones entre las magnitudes auxiliares. A su uso debemos la alta perfección que han adquirido todas las teorías generales de la geometría y de la mecánica.
Cualesquiera que sean las diferentes opiniones especulativas de los geómetras respecto al método infinitesimal, desde un punto de vista abstracto, todos coinciden tácitamente en emplearlo preferentemente, tan pronto como han de tratar una nueva cuestión, para no complicar la dificultad necesaria con este obstáculo puramente artificial procedente de una obstinación mal situada en adoptar un rumbo menos expeditivo.
El propio Lagrange, después de haber reconstruido el análisis trascendental sobre nuevas bases, ha rendido (con esa noble franqueza que tan bien convenía a su genio) un homenaje rotundo y decisivo a las propiedades características de la concepción de Leibniz, al seguirla exclusivamente en todo el sistema de su Méchanique Analytique. Un hecho semejante hace innecesario cualquier comentario.
Pero cuando consideramos la concepción de Leibniz en sí misma y en sus relaciones lógicas, no podemos dejar de admitir, con Lagrange, que es radicalmente viciosa en esto: que, adoptando sus propias expresiones, la noción de cantidades infinitamente pequeñas es una idea falsa, de la cual es en realidad imposible obtener una concepción clara, por mucho que podamos engañarnos en este asunto. Aun si adoptamos la ingeniosa idea de la compensación de errores, tal como se ha explicado anteriormente, esto entraña el inconveniente radical de vernos obligados a distinguir en las matemáticas dos clases de razonamientos: aquellos que son perfectamente rigurosos y aquellos en los que cometemos deliberadamente errores que posteriormente han de ser compensados. Una concepción que conduce a semejantes consecuencias es indudablemente muy insatisfactoria desde el punto de vista lógico.
Decir, como hacen algunos geómetras, que es posible en todos los casos reducir el método infinitesimal al de los límites, cuyo carácter lógico es irreproachable, equivaldría evidentemente a eludir la dificultad más que a resolverla; además, semejante transformación despoja casi por completo a la concepción de Leibniz de sus ventajas esenciales de facilidad y rapidez.