# EL CÁLCULO DE DIFERENCIAS FINITAS.
Las diferentes consideraciones fundamentales indicadas en los cinco capítulos precedentes constituyen, en realidad, todas las bases esenciales de una exposición completa del análisis matemático, considerado desde el punto de vista filosófico.
Sin embargo, para no omitir ninguna concepción general verdaderamente importante relativa a este análisis, creo que debo explicar aquí muy sumamente el carácter verídico de una clase de cálculo muy extendido y que, aunque en el fondo pertenece verdaderamente al análisis ordinario, todavía es considerado como de una naturaleza esencialmente distinta. Me refiero al Cálculo de Diferencias Finitas, que será el tema especial de este capítulo.
Su carácter general. Este cálculo, creado por Taylor en su célebre obra titulada Methodus Incrementorum, consiste esencialmente en la consideración de los incrementos finitos que las funciones reciben como consecuencia de incrementos análogos por parte de las variables correspondientes. Estos incrementos o diferencias, que llevan la característica Δ para distinguirlos de los diferenciales, o incrementos infinitamente pequeños, pueden a su vez ser considerados como nuevas funciones y ser objeto de una segunda consideración similar, y así sucesivamente; de lo cual resulta la noción de diferencias de varios órdenes sucesivos, análogas, al menos en apariencia, a los órdenes consecutivos de los diferenciales. Tal cálculo presenta evidentemente, al igual que el cálculo de las funciones indirectas, dos clases generales de cuestiones:
1°. Determinar las diferencias sucesivas de todas las diversas funciones analíticas de una o más variables, como resultado de un modo definido de incremento de las variables independientes, las cuales se supone generalmente que aumentan en progresión aritmética.
2°. Recíprocamente, partir de estas diferencias, o, más generalmente, de cualquier ecuación establecida entre ellas, y remontarse hasta las funciones primitivas mismas, o hasta sus relaciones correspondientes.
De aquí resulta la descomposición de este cálculo en dos distintos, a los cuales se suele dar los nombres de Cálculo Directo e Inverso de las Diferencias Finitas, siendo este último llamado también a veces Cálculo Integral de las Diferencias Finitas. Cada uno de ellos admitiría también, evidentemente, una distribución lógica similar a la dada en el cuarto capítulo para el cálculo diferencial e integral.
Su naturaleza verdadera. No cabe duda de que Taylor creía haber fundado con tal concepción un cálculo de una naturaleza totalmente nueva, absolutamente distinto del análisis ordinario y más general que el cálculo de Leibniz, aunque descansando en una consideración análoga.
Es de este modo, asimismo, como casi todos los geómetras han considerado el análisis de Taylor; pero Lagrange, con su habitual profundidad, percibió claramente que estas propiedades pertenecían mucho más a las formas y a las notaciones empleadas por Taylor que a la sustancia de su teoría.
En realidad, aquello que constituye el carácter peculiar del análisis de Leibnitz, y hace de él un cálculo verdaderamente distinto y superior, es la circunstancia de que las funciones derivadas son en general de una