figura, la relación de lo abstracto con lo concreto, en geometría, sería puramente accidental, y que la ciencia carecería en consecuencia de uno de sus fundamentos más esenciales.
Tales son, pues, dos consideraciones generales que demuestran plenamente la necesidad de introducir en la geometría un gran número de investigaciones que no tienen la medición de la extensión por objeto directo; al tiempo que seguimos concibiendo tal medición como el destino final de toda la ciencia geométrica.
De este modo podemos conservar las ventajas filosóficas de la claridad y precisión de esta definición, e incluir aún en ella, de un modo muy lógico aunque indirecto, todas las investigaciones geométricas conocidas, al considerar aquellas que no parecen referirse a la medición de la extensión como destinadas ya sea a preparar la solución de las cuestiones finales, o bien a hacer posible la aplicación de las soluciones obtenidas.
Habiendo reconocido así, como principio general, la estrecha y necesaria conexión del estudio de las propiedades de las líneas y de las superficies con aquellas investigaciones que constituyen el objeto final de la geometría, es evidente que los geómetras, en el curso de sus trabajos, no deben en modo alguno constreñirse a mantener siempre dicha conexión a la vista.
Sabiendo, de una vez por todas, cuán importante es variar tanto como sea posible la manera de concebir cada figura, deben proseguir ese estudio sin considerar de qué uso inmediato pueda ser tal o cual propiedad especial para las rectificaciones, cuadraturas y cubaturas.
Limitarían inútilmente sus indagaciones si atribuyeran una importancia pueril al establecimiento continuo de esa coordinación.
Esta exposición general del objeto general de la geometría es tanto más indispensable cuanto que, por la propia naturaleza del asunto, este estudio de las diferentes propiedades de cada línea y de cada superficie compone necesariamente con mucho la mayor parte del cuerpo entero de las investigaciones geométricas.
En efecto, las cuestiones relativas directamente a las rectificaciones, a las cuadraturas y a las cubaturas son evidentemente, por sí mismas, muy poco numerosas para cada figura considerada. Por otra parte, el estudio de las propiedades de esa misma figura presenta un campo ilimitado a la actividad del espíritu humano, en el cual siempre puede esperar hacer nuevos descubrimientos.
Así, aunque los geómetras se han ocupado durante veinte siglos, con más o menos actividad sin duda, pero sin ninguna interrupción real, en el estudio de las secciones cónicas, están muy lejos de considerar un tema tan simple como agotado; y es cierto, en efecto, que al continuar dedicándose a él, no dejarían de encontrar propiedades todavía desconocidas de esas diferentes curvas.
Si los trabajos de este género han disminuido considerablemente desde hace un siglo, no es porque estén concluidos, sino únicamente, como se explicará a continuación, porque la revolución filosófica en la geometría, operada por Descartes, ha disminuido singularmente la importancia de tales investigaciones.
De las consideraciones precedentes se deduce que el campo de la geometría no solo es necesariamente infinito debido a la variedad de figuras que deben considerarse, sino también en virtud de la diversidad de puntos de vista bajo los cuales puede considerarse una misma figura. Esta última concepción es, en verdad, la que proporciona la idea más amplia y completa de todo el conjunto de las investigaciones geométricas. Vemos que los estudios de este género consisten esencialmente, para cada