subordinada a la otra. La relación analítica que expresa esta dependencia puede ser más o menos difícil de descubrir, pero es evidente que debe concebirse siempre como existente, incluso en los casos en que nuestros medios actuales sean insuficientes para darla a conocer. Es mediante esta simple consideración como podemos demostrar, de un modo enteramente general —independientemente de las verificaciones particulares sobre las que se establece ordinariamente esta concepción fundamental para cada definición especial de una línea—, la necesidad de la representación analítica de las líneas por medio de ecuaciones.
Expresión de las ecuaciones por líneas. Retomando las mismas reflexiones en dirección inversa, podríamos mostrar con igual facilidad la necesidad geométrica de la representación de toda ecuación de dos variables, en un sistema determinado de coordenadas, por una cierta línea; de la cual tal relación sería, a falta de cualquier otra propiedad conocida, una definición muy característica, cuyo destino científico consistirá en fijar la atención directamente sobre el curso general de las soluciones de la ecuación, que quedará así anotado de la manera más llamativa y más sencilla.
Esta representación pictórica de las ecuaciones es una de las ventajas fundamentales más importantes de la geometría analítica, que ha influido de este modo en el más alto grado sobre el perfeccionamiento general del análisis mismo; no solo al asignar a las investigaciones puramente abstractas un objeto claramente determinado y una carrera inagotable, sino, en una relación todavía más directa, al proporcionar un nuevo medio filosófico para la meditación analítica que no podría ser reemplazado por ningún otro.
En realidad, la discusión puramente algebraica de una ecuación da a conocer indudablemente sus soluciones de la manera más precisa, pero considerándolas solo una por una, de modo que por este camino no podría