de esta relación necesaria con el cálculo integral, que parece deber ser, por sí mismo, el único directamente indispensable.
En realidad, siendo la eliminación de los infinitesimales o de las derivadas, introducidas como auxiliares para facilitar el establecimiento de las ecuaciones, la que constituye, como hemos visto, el objeto final e invariable del cálculo de funciones indirectas, es natural pensar que el cálculo que enseña a deducir de las ecuaciones entre estas magnitudes auxiliares aquellas que existen entre las mismas magnitudes primitivas debe bastar estrictamente para las necesidades generales del análisis trascendental sin que percibamos, a primera vista, qué papel especial y constante puede tener la solución de la cuestión inversa en dicho análisis.
Sería un verdadero error, aunque frecuente, atribuir al cálculo diferencial, para explicar su influencia peculiar, directa y necesaria, el destino de formar las ecuaciones diferenciales de las cuales el cálculo integral nos permite luego llegar a las ecuaciones finitas; pues la formación primitiva de las ecuaciones diferenciales no es ni puede ser, propiamente hablando, el objeto de ningún cálculo, ya que, por el contrario, constituye por su naturaleza el punto de partida indispensable de cualquier cálculo que sea.
¿Cómo, en particular, podría el cálculo diferencial, que en sí mismo se reduce a enseñar los medios de diferenciar las distintas ecuaciones, ser un procedimiento general para establecerlas?
Lo que en toda aplicación del análisis trascendental facilita realmente la formación de ecuaciones es el método infinitesimal, y no el cálculo infinitesimal, que es perfectamente distinto de él, aunque sea su complemento indispensable.
Tal consideración daría, por tanto, una falsa idea del destino especial que caracteriza al cálculo diferencial en el sistema general del análisis trascendental.
Pero concebiríamos sin embargo muy imperfectamente la verdadera importancia peculiar de esta primera rama del cálculo de funciones indirectas, si no viésemos en ella más que un simple trabajo preliminar, que no tuviera otro objeto general y esencial que preparar los cimientos indispensables para el cálculo integral.
Como las ideas sobre esta materia son en general confusas, creo que debo explicar aquí de manera resumida esta importante relación tal como la concibo, y mostrar que en toda aplicación del análisis trascendental se le asigna constantemente una parte primordial, directa y necesaria al cálculo diferencial.
- Uso del cálculo diferencial como preparatorio al del integral. Al formar las ecuaciones diferenciales de cualquier fenómeno que sea, es muy raro que nos limitemos a introducir diferencialmente solo aquellas magnitudes cuyas relaciones se buscan. Imponer esa condición equivaldría a disminuir inútilmente los recursos que presenta el análisis trascendente para la expresión de las leyes matemáticas de los fenómenos. La mayoría de las veces introducimos en las ecuaciones primitivas, a través de sus diferenciales, otras magnitudes cuyas relaciones ya se conocen o se suponen tales, y sin cuya consideración sería frecuentemente imposible establecer las ecuaciones.
Así, por ejemplo, en el problema general de la rectificación de curvas, la ecuación diferencial, ds2 = dy2 + dx2, o ds2 = dx2 + dy2 + dz2, no solo se establece entre la función deseada s y la variable independiente x, a la cual está referida, sino que, al mismo tiempo, se han introducido, como intermediarios indispensables, los diferenciales de una o dos funciones más, y y z, que figuran entre los datos del problema; no habría sido posible formar directamente la ecuación entre ds y dx, la cual, por lo demás, sería propia de cada curva considerada. Ocurre lo mismo en la mayoría de las cuestiones.