sola función, o (en un caso evidentemente más complicado y más implícito, que corresponde a la diferenciación de funciones implícitas simultáneas) podemos tener que determinar al mismo tiempo varias funciones a partir de las ecuaciones diferenciales en las que se encuentran unidas, junto con sus diferentes derivadas. Es evidente que tal estado de la cuestión presenta necesariamente una nueva dificultad especial, la de separar las diferentes funciones deseadas, formando para cada una, a partir de las ecuaciones diferenciales propuestas, una ecuación diferencial aislada que no contenga las otras funciones ni sus derivadas. Este trabajo preliminar, que es análogo a la eliminación del álgebra, es evidentemente indispensable antes de intentar cualquier integración directa, puesto que no podemos emprender en general (excepto mediante artificios especiales que muy raramente son aplicables) determinar directamente varias funciones distintas a la vez.
Ahora es fácil establecer la exacta y necesaria coincidencia de esta nueva distinción con la precedente respecto al orden de las ecuaciones diferenciales.
Sabemos, en efecto, que el método general para aislar funciones en ecuaciones diferenciales simultáneas consiste esencialmente en formar ecuaciones diferenciales, separadamente en relación con cada función, y de un orden igual a la suma de todos los de las diferentes ecuaciones propuestas. Esta transformación siempre puede efectuarse.
Por otra parte, toda ecuación diferencial de cualquier orden en relación con una sola función podría evidentemente reducirse siempre al primer orden, introduciendo un número adecuado de ecuaciones diferenciales auxiliares, que contengan al mismo tiempo las diferentes derivadas anteriores consideradas como nuevas funciones por determinar. Este método ha sido, de hecho, empleado a veces con éxito, aunque no sea el natural.