obtenerse una visión general de ellas, excepto como resultado final de una larga y laboriosa serie de comparaciones numéricas. Por otra parte, el lugar geométrico de la ecuación, al estar diseñado únicamente para representar con distinción y perfecta claridad el resumen de todas estas comparaciones, permite considerarlo directamente, sin prestar ninguna atención a los detalles que lo han proporcionado. Puede así sugerir a nuestra mente puntos de vista analíticos generales, a los que habríamos llegado con mucha dificultad de cualquier otro modo, por falta de un medio para caracterizar claramente su objeto.
Es evidente, por ejemplo, que la simple inspección de la curva logarítmica, o de la curva y = sen. x, nos hace percibir con mucha mayor distinción el modo general de las variaciones de los logaritmos con respecto a sus números, o de los senos con respecto a sus arcos, de lo que podría hacerlo el estudio más atento de una tabla de logaritmos o de senos naturales.
Es bien sabido que este método se ha vuelto completamente elemental en la actualidad, y que se emplea siempre que se desea tener una idea clara del carácter general de la ley que rige en una serie de observaciones precisas de cualquier clase que sean.
Cualquier cambio en la línea provoca un cambio en la ecuación.
Volviendo a la representación de líneas mediante ecuaciones, que es nuestro objeto principal, vemos que esta representación es, por su naturaleza, tan fiel, que la línea no podría experimentar modificación alguna, por leve que sea, sin causar un cambio correspondiente en la ecuación. Esta perfecta exactitud da lugar incluso a menudo a dificultades especiales; pues dado que, en nuestro sistema de geometría analítica, los meros desplazamientos de las líneas afectan a las ecuaciones, así como sus variaciones reales en magnitud o forma, estaríamos expuestos a confundirlas unas con otras en nuestras expresiones analíticas, si los geómetras no hubiesen descubierto un ingenioso método diseñado expresamente para distinguirlas siempre.
Este método se funda en este principio: que, aunque es imposible cambiar analíticamente a voluntad la posición de una línea con respecto a los ejes de las coordenadas, podemos cambiar de cualquier manera que sea la situación de los ejes mismos, lo que evidentemente equivale a lo mismo; después, con la ayuda de la fórmula general, muy sencilla, mediante la cual se produce esta transformación de los ejes, resulta fácil descubrir si dos ecuaciones diferentes son las expresiones analíticas de una misma línea situada de manera distinta, o si se refieren a lugares geométricos verdaderamente distintos; puesto que, en el primer caso, una de ellas se transformará en la otra cambiando adecuadamente los ejes o las otras constantes del sistema de coordenadas empleado.
Debe, además, observarse a este respecto que las inconveniencias generales de esta índole parecen ser absolutamente inevitables en la geometría analítica; pues, dado que las ideas de posición son, como hemos visto, las únicas ideas geométricas inmediatamente reducibles a consideraciones numéricas, y que las concepciones de figura no pueden reducirse de este modo sino viendo en ellas relaciones de situación, es imposible que el análisis evite confundir, en un principio, los fenómenos de figura con los simples fenómenos de posición, que son los únicos expresados directamente por las ecuaciones.
Toda definición de una línea es una ecuación. Para completar la explicación filosófica de la concepción fundamental que sirve de base a la geometría analítica, creo que debo indicar aquí una nueva consideración