Esta geometría abstracta comprenderá entonces inevitablemente como casos particulares todas las diferentes figuras reales que el mundo exterior pueda presentar. Es, por tanto, un principio fundamental en la geometría verdaderamente racional considerar, en la medida de lo posible, todas las figuras que puedan concebirse rigurosamente.
El examen más superficial basta para convencernos de que estas figuras presentan una variedad que es completamente infinita.
Infinidad de líneas. Respecto a las líneas curvas, considerándolas generadas por el movimiento de un punto gobernado por una cierta ley, es evidente que tendremos, en general, tantas curvas diferentes como distintas leyes concebamos para este movimiento, las cuales pueden determinarse evidentemente mediante una infinidad de condiciones distintas; aunque a veces pueda suceder accidentalmente que nuevas generaciones produzcan curvas que ya se hayan obtenido.
Así, entre las curvas planas, si un punto se mueve de manera que permanece constantemente a la misma distancia de un punto fijo, generará un círculo; si es la suma o la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos lo que permanece constante, la curva descrita será una elipse o una hipérbola; si es su producto, obtendremos una curva enteramente diferente; si el punto se aparta por igual de un punto fijo y de una línea fija, describirá una parábola; si gira sobre un círculo al mismo tiempo que este círculo rueda a lo largo de una línea recta, obtendremos una cicloide; si avanza a lo largo de una línea recta, mientras esta línea, fija en uno de sus extremos, gira de cualquier manera que sea, resultará lo que en términos generales se llama espirales, las cuales por sí mismas presentan evidentemente tantas curvas perfectamente distintas como relaciones diferentes podamos suponer entre estos dos movimientos de traslación y de rotación, etc.
Cada una de estas distintas curvas puede además proporcionar otras nuevas, mediante las diferentes construcciones generales que los geómetras han ideado, y que dan lugar a evolutas, a epicicloides, a cáusticas, etc.
Finalmente, existe una variedad todavía mayor entre las curvas de doble curvatura.
Infinidad de superficies.
En cuanto a las superficies, las figuras son necesariamente aún más diferentes, si se las considera generadas por el movimiento de líneas. En efecto, la figura puede entonces variar, no solo al considerar, como en las curvas, las diferentes leyes infinitamente numerosas a las que el movimiento de la línea generatriz puede estar sujeto, sino también al suponer que esta línea misma puede cambiar su naturaleza; una circunstancia que no tiene nada análogo en las curvas, puesto que los puntos que las describen no pueden tener ninguna figura distintiva.
Dos clases de condiciones muy diferentes pueden entonces hacer que las figuras de las superficies varíen, mientras que solo existe una para las líneas. Es inútil citar ejemplos de esta multiplicidad doblemente infinita de superficies. Bastaría con considerar la extrema variedad del único grupo de superficies que puede ser generado por una línea recta, y que comprende a toda la familia de las superficies cilíndricas, la de las superficies cónicas, la clase más general de las superficies desarrollables, etc.
Infinidad de volúmenes. Con respecto a los volúmenes, no hay ocasión para ninguna consideración especial, ya que solo se distinguen entre sí por las superficies que los delimitan.