# EL CÁLCULO DE VARIACIONES.
Para captar con más facilidad el carácter filosófico del Método de las Variaciones, será conveniente empezar considerando de manera sumaria la naturaleza especial de los problemas cuya resolución general ha hecho necesaria la formación de este análisis hipertrascendental. Está todavía demasiado cerca de su origen y sus aplicaciones han sido demasiado pocas como para permitirnos obtener una idea general suficientemente clara de él a partir de una exposición puramente abstracta de su teoría fundamental.
# PROBLEMAS QUE LE DAN ORIGEN.
Las cuestiones matemáticas que han dado origen al Cálculo de Variaciones consisten generalmente en la investigación de los máximos y mínimos de ciertas fórmulas integrales indeterminadas, las cuales expresan la ley analítica de tal o cual fenómeno de la geometría o de la mecánica, considerado independientemente de cualquier objeto en particular.
Los geómetras durante mucho tiempo designaron todas las cuestiones de este carácter con el nombre común de Problemas Isoperimétricos, el cual, sin embargo, en realidad solo es adecuado para el más pequeño número de ellas.
Cuestiones ordinarias de Máximos y Mínimos.
En la teoría común de los máximos y mínimos, se propone descubrir, con referencia a una función dada de una o más variables, qué valores particulares deben asignarse a estas variables, para que el valor correspondiente de la función propuesta sea un máximo o un mínimo con respecto a aquellos valores que le preceden y le siguen inmediatamente; esto es, hablando propiamente, buscamos saber en qué instante la función deja de crecer y comienza decrecer, o recíprocamente.
El cálculo diferencial es perfectamente suficiente, como sabemos, para la resolución general de esta clase de cuestiones, al mostrar que los valores de las diferentes variables, que convienen ya sea al máximo o al mínimo, deben anular siempre las diferentes primeras derivadas de la función dada, tomadas por separado con respecto a cada variable independiente, y al indicar, además, una característica adecuada para distinguir el máximo del mínimo; consistente, en el caso de una función de una sola variable, por ejemplo, en que la función derivada de segundo orden tome un valor negativo para el máximo, y un valor positivo para el mínimo. Tales son las bien conocidas condiciones fundamentales pertenecientes a la mayor parte de los casos.
Una nueva clase de cuestiones. La construcción de esta teoría general, al haber destruido necesariamente el principal interés que las cuestiones de esta índole tenían para los geómetras, los llevó casi de inmediato a considerar un nuevo orden de problemas, a la vez mucho más importantes y de mucha mayor dificultad: los de isoperímetros. Ya no se trata, pues, de determinar los valores de las variables pertenecientes al máximo o al mínimo de una función dada. Lo que se requiere descubrir es la forma de la función misma, a partir de la condición del máximo o del mínimo de una cierta integral definida, meramente indicada, que depende de dicha función.