Se sigue de esta consideración general que toda ecuación que exprese la ley analítica de cualquier fenómeno debe poseer la propiedad de no alterarse en absoluto cuando todas las cantidades que en ella se encuentran experimentan simultáneamente el cambio correspondiente al que experimentarían sus respectivas unidades.
Ahora bien, este cambio consiste evidentemente en que todas las cantidades de cada clase se vuelven a la vez m veces menores, si la unidad que les corresponde se vuelve m veces mayor, o recíprocamente.
Así, toda ecuación que represente cualquier relación concreta que sea debe poseer esta característica de permanecer idéntica cuando hacemos m veces mayores todas las cantidades que contiene y que expresan las magnitudes entre las cuales existe la relación; exceptuando siempre los números que designan simplemente las razones mutuas de estas diferentes magnitudes y que, por lo tanto, permanecen invariables durante el cambio de las unidades.
Es esta propiedad la que constituye la ley de Homogeneidad en su significación más amplia, es decir, sea cual fuere la naturaleza de las funciones analíticas de que se compongan las ecuaciones.
Pero con mayor frecuencia consideramos únicamente los casos en los que las funciones son de las que se llaman algebraicas, y a las cuales es aplicable la idea de grado. En este caso podemos dar mayor precisión a la proposición general determinando el carácter analítico que debe presentar necesariamente la ecuación para que esta propiedad se verifique.
Es fácil ver, entonces, que, mediante la modificación recién explicada, todos los términos del primer grado, cualquiera que sea su forma, racional o irracional, entera o fraccionaria, se volverán m veces mayores; todos los del segundo grado, m2 veces; los del tercero, m3 veces, etc.
Así pues, siendo los términos del mismo grado —por muy diferente que sea su composición— los que varían de la misma manera, y los términos de diferentes grados los que varían en una proporción desigual —cualquiera que sea la similitud que pueda haber en su composición—, será necesario, para evitar que la ecuación resulte alterada, que todos los términos que contiene sean del mismo grado.
En esto consiste propiamente el teorema ordinario de la Homogeneidad, y de esta circunstancia ha derivado su nombre la ley general, la cual, sin embargo, deja de ser exactamente apropiada para todas las demás funciones.
Para tratar este asunto en toda su extensión, es importante observar una condición esencial, a la que debe prestarse atención al aplicar esta propiedad cuando el fenómeno expresado por la ecuación presenta magnitudes de diferentes naturalezas.
Así puede suceder que las unidades respectivas sean completamente independientes entre sí, y entonces el teorema de la Homogeneidad se mantendrá válido, ya sea con referencia a todas las clases de cantidades correspondientes, o bien con respecto a una sola de ellas o a varias.