He aquí, pues, dos órdenes de condiciones necesariamente equivalentes en la teoría general de las ecuaciones diferenciales: la simultaneidad de un número mayor o menor de funciones, y el orden superior o inferior de diferenciación de una sola función.
- Aumentando el orden de las ecuaciones diferenciales, podemos aislar todas las funciones;
- y, multiplicando artificialmente el número de las funciones, podemos reducir todas las ecuaciones al primer orden.
Existe, en consecuencia, en ambos casos, una sola y idéntica dificultad vista desde dos puntos de vista diferentes. Pero, comoquiera que la concebamos, esta nueva dificultad no deja de ser real y constituye no obstante, por su naturaleza, una marcada separación entre la integración de las ecuaciones de primer orden y la de las ecuaciones de un orden superior.
Prefiero indicar la distinción bajo esta última forma por ser más simple, más general y más lógica.
Cuadraturas.
De las diferentes consideraciones que se han indicado respecto a la dependencia lógica de las diversas partes principales del cálculo integral, vemos que la integración de fórmulas diferenciales explícitas de primer orden y de una sola variable es la base necesaria de todas las demás integraciones, que nunca logramos efectuar sino en la medida en que las reducimos a este caso elemental, evidentemente el único que, por su naturaleza, es susceptible de ser tratado directamente.
Esta simple integración fundamental se designa a menudo con la expresión conveniente de cuadraturas, dado que toda integral de este tipo, Sf(x)dx, puede considerarse, de hecho, como la representación del área de una curva cuya ecuación en coordenadas rectilíneas sería y = f(x). Tal clase de cuestiones corresponde, en el cálculo diferencial, al caso elemental de la diferenciación de funciones explícitas de una sola variable.
Pero la cuestión integral es, por su naturaleza, muy diversamente complicada, y sobre todo mucho más extensa que la cuestión diferencial. Esta última se reduce, en realidad, necesariamente, como hemos visto, a la diferenciación de las diez funciones simples, cuyos elementos se consideran todos en el análisis.
Por otra parte, la integración de las funciones compuestas no se sigue necesariamente de la de las funciones simples, pues cada combinación de estas puede presentar dificultades especiales con respecto al cálculo integral. De ahí resulta la extensión naturalmente indefinida, y la tan variada complicación de la cuestión de las quadratures, sobre la cual, a pesar de todos los esfuerzos de los analistas, aún poseemos tan pocos conocimientos completos.
Al descomponer esta pregunta, como es natural, según las diferentes formas que puede adoptar la función derivada, distinguimos el caso de las funciones algebraicas y el de las funciones trascendentes.
Integración de funciones trascendentes.