aspecto, habría sido radicalmente vicioso, puesto que habría sido imposible prever, en general, hasta qué punto las operaciones sucesivas podían incrementar estos primeros errores, los cuales habrían podido alcanzar así cualquier magnitud. Leibnitz, pues, no vio, salvo de manera muy confusa, los verdaderos fundamentos lógicos del análisis que había creado. Sus primeros sucesores se limitaron, al principio, a verificar su exactitud mostrando la conformidad de sus resultados, en aplicaciones particulares, con los obtenidos por el álgebra ordinaria o la geometría de los antiguos; reproduciendo, según los métodos antiguos, en la medida de lo posible, las soluciones de algunos problemas una vez que habían sido obtenidas por el nuevo método, el único capaz de descubrirlas en primer lugar.
Cuando esta gran cuestión fue considerada de un modo más general, los geómetras, en lugar de atacar directamente la dificultad, prefirieron eludirla de algún modo, como lo han hecho Euler y D'Alembert, por ejemplo, demostrando la conformidad necesaria y constante de la concepción de Leibniz, considerada en todas sus aplicaciones, con otras concepciones fundamentales del análisis trascendental, especialmente la de Newton, cuya exactitud estaba libre de toda objeción. Tal verificación general es sin duda estrictamente suficiente para disipar cualquier incertidumbre sobre el empleo legítimo del análisis de Leibniz. Pero el método infinitesimal es tan importante —y ofrece todavía, en casi todas sus aplicaciones, tan gran superioridad práctica sobre las otras concepciones generales que se han propuesto sucesivamente— que habría una imperfección real en el carácter filosófico de la ciencia si esta no pudiera justificarse a sí misma, y necesitara fundarse lógicamente en consideraciones de otro orden, que entonces dejarían de emplearse.
Era, pues, de verdadera importancia establecer directa y de manera general la racionalidad necesaria del método infinitesimal. Tras varios intentos más o menos imperfectos, un geómetra distinguido, Carnot, presentó por fin la verdadera explicación lógica directa del método de Leibniz, al mostrar que se funda en el principio de la compensación necesaria de errores, siendo esta, de hecho, la manifestación precisa y luminosa de lo que Leibniz había percibido de manera vaga y confusa.
Carnot ha prestado así a la ciencia un servicio esencial, aunque, como veremos hacia el final de este capítulo, todo este andamiaje lógico del método infinitesimal, propiamente dicho, es muy probablemente susceptible de una existencia meramente provisional, en la medida en que es radicalmente vicioso en su naturaleza.
Aun así, no debemos dejar de observar el sistema general de razonamiento propuesto por Carnot para legitimar directamente el análisis de Leibniz. He aquí su sustancia:
Al establecer la ecuación diferencial de un fenómeno, sustituimos, por los elementos inmediatos de las distintas cantidades consideradas, otros infinitésimos más simples, que difieren de ellos infinitamente poco en comparación con ellos; y esta sustitución constituye el artificio principal del método de Leibniz, que sin él no poseería ninguna facilidad real para la formación de ecuaciones.
Carnot considera que dicha hipótesis produce en realidad un error en la ecuación así obtenida, y al que por esta razón denomina imperfecto; solo que es evidente que este error debe ser infinitamente pequeño.
Ahora bien, por otra parte, todas las operaciones analíticas, ya sean de diferenciación o de integración, que se realizan sobre estas ecuaciones diferenciales, con el fin de elevarlas a ecuaciones finitas mediante la eliminación de todos los infinitesimales que se han introducido como auxiliares, producen tan constantemente, por su naturaleza, como es fácil de ver, otros errores análogos, de modo que tiene lugar una compensación exacta y las ecuaciones finales, en palabras de Carnot, se vuelven perfectas.