# CANTIDADES IMAGINARIAS.
Las dificultades relacionadas con varios símbolos peculiares a los que a veces conducen los cálculos algebraicos, y en especial con las expresiones llamadas imaginarias, han sido, a mi juicio, muy exageradas a través de consideraciones puramente metafísicas que se les han impuesto, en lugar de considerar estos resultados anormales desde su verdadero punto de vista como simples hechos analíticos.
Vistos de este modo, vemos fácilmente que, dado que el espíritu del análisis matemático consiste en considerar las magnitudes únicamente en referencia a sus relaciones, y sin ninguna consideración de su valor determinado, los analistas se ven obligados a admitir indiferentemente toda clase de expresión que pueda ser engendrada por las combinaciones algebraicas.
La prohibición de una sola expresión debido a su aparente singularidad destruiría la generalidad de sus concepciones.
La perplejidad común sobre este tema me parece proceder esencialmente de una confusión inconsciente entre la idea de función y la idea de valor, o, lo que viene a ser lo mismo, entre el punto de vista algebraico y el aritmético.
Un examen exhaustivo mostraría que el análisis matemático es mucho más claro en su naturaleza de lo que incluso los matemáticos suponen comúnmente.
# CANTIDADES NEGATIVAS.
En cuanto a las cantidades negativas, que han dado lugar a tantas discusiones mal encaminadas, tan irracionales como inútiles, debemos distinguir entre su significación abstracta y su interpretación concreta, las cuales casi siempre se han confundido hasta el día de hoy.
Bajo el primer punto de vista, la teoría de las cantidades negativas puede establecerse de manera completa mediante una sola consideración algebraica.
La necesidad de admitir tales expresiones es la misma que para las cantidades imaginarias, como se indicó anteriormente; y su empleo como artificio analítico, para hacer las fórmulas más abarcadoras, es un mecanismo de cálculo que no puede dar lugar realmente a ninguna dificultad seria.
Podemos, por tanto, considerar que la teoría abstracta de las cantidades negativas no deja nada esencial que desear; no presenta más obstáculos que aquellos introducidos inapropiadamente por consideraciones sofísticas.
Muy lejos está de ser así, sin embargo, con su teoría concreta. Esta consiste esencialmente en esa admirable propiedad de los signos + y -, de representar analíticamente las oposiciones de direcciones de las que ciertas magnitudes son susceptibles. Este teorema general sobre la relación de lo concreto con lo abstracto en matemáticas es uno de los descubrimientos más hermosos que debemos al genio de Descartes, quien lo obtuvo como un simple resultado de una observación filosófica debidamente dirigida.
Un gran número de geómetras se han esforzado desde entonces por establecer directamente su demostración general, pero hasta ahora sus esfuerzos han sido ilusorios. Sus vanas consideraciones metafísicas y sus mezclas